NOML题目分享

dunwan2tellu

最近我和多普勒和一些佳里的伙伴参加了网上数学竞赛，觉得有些题目还不错就想将他搬来这里和大家分享。（当然这些题目是比完后我才可以贴上来)已参加NOML的朋友，先让那些没参加的网友作答，之后你们才指正吧 。另一点是，这些题目都有 1 到 999的整数解。


第 0 期

1)在一圆形内画四边形 ABCD(四个角都在圆周上) , 使到AB=5 ,BC=10 , CD=11 , AD=14 。试找出 AC^2 (答案那最接近的整数) 172

2) 设 S = 1x2 + 3x4 + 5x6 + ... + 2003x2004 。
试找出最小的10的倍数的整数n，使到这数字大过  S/2004 的平方根
( 即是 n > sqrt{S/2004} , 找最小n的值) 820

3)三角形ABC的三个边满足 x^3 -16x^2 +85x -149=0 。P是三角形内的点，使到
角APB = 角APC = 角BPC = 120度 。若 PA^2 + PB^2 +PC^2 可以写成

(a + b sqrt{c})/d  的方式且a,b,c,d都必须尽量小和 c,d>0 。请找出

  a + b + c + d  的值  242

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 26-10-2005 07:32 PM 编辑 ]

dunwan2tellu

第一期

1)若x,y是连续的正整数(consecutive integer),而a,b是集合{1,2,3,4,5}中任意一个数（可以重复)。x+a , y+b 也是连续正整数的机率可以以m/n 来表示(m和n互质)。那么m+n=?  33

2)一个平行四边形ABCD有AC＝26 ， BD＝30 ， 而A到BC的高则是24。请找出ABCD的面积。 336

3)设 a(n) 为整数n的各位数的和(ex: a(347)=3+4+7=14).对于所有的正整数n，

       a(n) - a(n+1)    当a(n) - a(n+1) >0
A_n ={
       0                其他(otherwise)

若 S =A_1 + A_2 + A_3 +...+ A_2005 .则  S－1000 ＝ ？798

4)三角形ABC的边为19，20，21 。它们的对角各自为A，B，C。那么

sin^2 (A/2) + sin^2 (B/2) + sin^2 (C/2)

可以以 m/n 来表示(m,n互质) . 那么 m + n = ?  233

5)设 M 为 103！的除数的数量(number of positive divisor) , N 为 104！ 的除数的数量。 M/N 可以用 m/n 来表示（m.n互质)。找 m + n = ? 95

6)多项式 f(x) = x^4 - cx + 675 里，当c的范围在 (-a sqrt(b) , a sqrt(b)) 里时，f(x)没有实数根。若b非平方数(square-free) ,而 a,b均为正整数。找
a+b=? (这题有个美丽的解，不是用微分求极限的方法哦！虽然微积分也可以解这题.) 75

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 26-10-2005 07:10 PM 编辑 ]

灰羊

什麼美麗的解?
拿來看看
還有為什麼只有6題?

dunwan2tellu

灰羊，解法是用AM－GM来做的

由于 f(x)/x = x^3 +675/x - c 而我们也知道

x^3 + 675/x  = x^3 + 225/x + 225/x + 225/x
            >= 4x(225^3)^(1/4) = 60sqrt{15}

*我们可以用AM-GM因为只要有偶数个term的话AM>GM也成立（奇数个就不一定)。所以

f(x)/x >= 60sqrt{15}-c >0 所以  c<60sqrt{15} .而从对称来看就有

-60sqrt{15} < c < 60sqrt{15}

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 23-10-2005 05:49 PM 编辑 ]

dunwan2tellu

第二期

1)三角形ABC面积为420 . 点D和点E分别在AB和AC上，使到AD=2/3 AB , AE=1/4 AC . 找出BCED 的面积 。350

2)试找出最大的正整数 c ,使到 8x+15y = c 只有三个非负整数解 x,y .457

3)y= |x^2-9| 的图形和 y=h 交叉于四个点 A,B,C,D 使到AB=BC=CD .h 可以以 m/n 的方式写下（m,n互质)。请问 m+n=? 41

4)一个立方体边为12。将其8个角的四面体(tetrahedron)切掉，而每个四面体都有等边三角形为底，且每个四面体都相同。当8个四面体被切掉后，剩下的体积是原来的77/81 .将这新的形状的表面积(surface area)写成
a + b sqrt{c} 的格式 ，(a,b,c是整数，c 非平方数或称square-free).那么 a + b + c = ?  739

5)请问有多少个正整数数列 a1,a2,a3,a4 ， 使到 a1>1 ，且a1 是 a2 的除数 ; a2是a3 的除数 ; a3是a4的除数 ; a4是360的除数。(好比3是12的除数,但12不是12的除数。)   190

6)对于所有的实数 x , 我们有 f_0(x) = |x| .对于所有整数 n>=1 , 定义
f_n 为  f_n(x) = | f_{n-1}(x) - n|  , for all real x .
函数f_607(x) 的图形 ， 和x轴之间的面积是 A 。请问 A 除 1000 的余数是多少 ？ 608

dunwan2tellu

第三期

1)|x| = (x^2+77)/18 有四个实数解(real solution) .请问这四个解的绝对值的和(sum of absolute values)是多少?  036

2)小明从1开始一直写到 N (N是正整数) .当他写到 N 时，他总共已把 9 些了 33 次。请问 N=?  193

3)某人 25 岁生日(11 月1日星期二)时的生日愿望是希望能活到有那么一天，使到某年的其中一个月份的第一天为星期六，下一个月的第一天为星期日。假设他真的能活那么久，那末当他见到那星期日时，他已经几岁了？(取整数的岁数) 039

4)有石榴，形状为圆球体，内有种子和石榴肉。石榴肉的体积和石榴表面面积成正比(directly proportional).一个半径为 2 inches 的石榴有72粒种子，占体积的90% .那么一个半径为 4 inches 的石榴应该有多少粒种子呢? 608

5) 有个长方形ABCD .在 E 在 AD ，G在 BC ,且AE > BG .将 EG 连接成线后交叉于DC的延长线于 F (EGF 为一直线).AB=20 , BC=36 。 ABGE , CDEG , CFG 的面积是增加着的等差数列。若CDEG面积 = 420 , 那么 EF 的长度可以以 a sqrt{b}
来表示，（a,b是整数 ， b非平方数) .求 a + b = ?  117

6)小华掷三个四面 dice (号码为 1 到 4) 。小刚则掷一个十二面的dice ,(号码为 1 到 12) 。假设他们两的 dices 都是公平的，那么，小华掷的号码的和会大过小刚掷的号码的机率为 m/n (m,n都互质) 。 m + n = ? 037

7)ABCD 是正四方形，边长为 4 。 E 和 F 在 AD 和 BC 上。使到 AE=2 , BF=1。 将 ABCD reflect 与 EF 就得到 A'B'C'D' 。再将 A'B'C'D' rotate clockwise 于点 P , 使到 A'B'C'D' 和 ABCD 重叠 ,A' rotate 到 A . PE^2 的长度可以用 m/n 来表示 (m,n 互质) . m+n=?  093

8)f(x) = x^4 -(2k+4)x^2 + (k-2)^2 , k是整数。假设 f(x) 可以写成
f(x) = P(x)Q(x) , P(x)和 Q(x) 是quadratic polynomial 系数都为整(integer coefficient) . 若 k =< 2005 , P（x) 的最大的根可以写成 a+sqrt{b} , (a,b 是整数，b非平方数) 。 a + b = ? 046

[ 本帖最后由 dunwan2tellu 于 16-11-2005 11:58 PM 编辑 ]