圆周率 pi

文世杰

圓周率

手写体写的π
圓周率，一般以π來表示，是一個在數學及物理學普遍存在的数学常数。它定义为圓形之周长与直徑之比。它也等于圓形之面積與半徑平方之比。是精確計算圓周長、圓面積、球體積等幾何形狀的關鍵。分析學上，π 可定義為是最小的 x > 0 使得 sin(x) = 0。
常用的 π 近以值包括疏率“22/7”及密率“355/113”。这两项均由祖沖之给出。
π 约等于（精确到小数点后第100位）
3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70680

π 的计算及历史
由于 π 的超越性，所以只能以近似值的方法计算 π。对于一般应用 3.14 或 22/7 已足够，但工程学常利用 3.1416 (5个有效数字) 或 3.14159 (6个有效数字)。至于密率 355/113　则是易于记忆，精确至7位有效数字的分数。

实验时期
中国古籍云：『周三径一』，意即 π=3。公元前17世纪的埃及古籍《阿美斯纸草书》（Ahmes，又称“阿梅斯草片文书”；为英国人Henry Rhind于1858年发现，因此还称“Rhind草片文书”）是世界上最早给出圆周率近似值，为 256/81 ( = 3 + 1/9 + 1/27 + 1/81) 或 3.160。
至阿基米得之前，π值之测定倚靠实物测量。

几何法时期——反复割圆
阿基米得用几何方法得出圆周率是介乎 3又1/7 与 3又10/71 之间。
公元263年，刘徽用“割圆术”给出 π=3.14014 并限出 3.14 是个很好的近似值——“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。”；其中有求极限的思想。
公元466年，祖冲之用割圆术算到小数点后7位精度，这一纪录在世界上保持了一千年之久。为纪念祖冲之对中国圆周率发展的贡献，将这一推算值用他的名字被命名为“祖冲之圆周率”，简称祖率

分析法时期——无穷级数
这一时期人们开始摆脱利用割圆术的繁复计算，开始利用无穷级数或无穷连乘积求π。
Ludolph van Ceulen (circa，1600年) 计算出首 35 个小数字。他对此感到自豪，因而命人把它刻在自己的墓碑上。
Slovene 数学家Jurij Vega于1789年得出首 140 个小数字，其中有 137 个是正确的。这个世界纪录维持了五十年。他是利用了John Machin于1706年提出的数式。
所有以上的方法都不能快速算出 π。第一个快速算法由 Machin 提出：

其中 arctan(x) 可由泰勒级数算出。类似方去称为“类Machin算法”。

计算器时代
上万位以上的小数字值通常利用 Gauss-Legendre 算法或 Borweins 算法；另外以往亦曾使用于1976年发现的 Salamin-Brent 算法。
第一个 π 和 1/π 的百万小数字利用了 Project Gutenberg。最新纪录是2002年九月得出的 1,241,100,000,000 个小数位，由拥有 1TB 主存储器的 64-node 日立 超级计算机，以每秒 200 亿运算惊人速度得出，比旧纪录多算出一倍 (206 亿小数位)。此纪录由以下类Machin算法得出：
(K. Takano, 1982年)
(F. C. W. Störmer, 1896年)
这么多的小数字没什实用价值，只用以测试超级计算机。
1996年，David H. Bailey、Peter Borwein及西蒙•普劳夫发现了 π 的其中一个无穷级数：

以表达式可以计算 π 的第 n 个二进制或十六进制小数，而不需先计算之前 n-1 个小数位。请参考 Bailey's website 相关程序。
其它计算圆周率的方法包括：
(Ramanujan)
(David Chudnovsky 及 Gregory Chudnovsky)

年表
日期        计算者        π的值
(世界纪录用粗体表示)

前20世纪
巴比伦人
25/8 = 3.125
前20世纪
埃及人Rhind Papyrus
(16/9)² = 3.160493...
前12世纪
中国
3
前6世纪中
圣经列王记上7章23节
3
前434年
阿那克萨哥拉 尝试通过标尺作图来化圓為方

前3世纪
阿基米得
223/71 < π < 22/7
(3.140845... < π < 3.142857...)
211875/67441 = 3.14163...
20 BC
Vitruvius
25/8 = 3.125
130年
张衡
√10 = 3.162277...
150年
托勒密
377/120 = 3.141666...
250年
王蕃
142/45 = 3.155555...
263年
刘徽
3.14159
480年
祖冲之
3.1415926 < π < 3.1415927
499年
Aryabhatta
62832/20000 = 3.1416
598年
Brahmagupta
√10 = 3.162277...
800年
花拉子密
3.1416
12世纪
Bhaskara
3.14156
1220年
比萨的列奥纳多
3.141818
1400年
Madhava
3.1415926359
以后的纪录都仅记录多少小数字后而不出实际值
1424年
Jamshid Masud Al Kashi
16位小数
1573年
Valenthus Otho
6位小数
1593年
Francois Viete
9位小数
1593年
Adriaen van Roomen
15位小数
1596年
Ludolph van Ceulen
20位小数
1615年
Ludolph van Ceulen
32位小数
1621年
Willebrord Snell (Snellius), Van Ceulen 的学生
35位小数
1665年
牛顿
16位小数
1699年
Abraham Sharp
71位小数
1700年
Seki Kowa
10位小数
1706年
John Machin
100位小数
1706年
William Jones 引入希腊字母 π

1730年
Kamata
25位小数
1719年
De Lagny 计算了 127 个小数字，但并非全部是正确的        112位小数
1723年
Takebe
41位小数
1734年
莱昂哈德&#8226;欧拉 引入希腊字母 π 并肯定其普及性         
1739年
Matsunaga
50位小数
1761年
Johann Heinrich Lambert 证明 π 是无理数

1775年
欧拉指出 π 是超越数的可能性

1789年
Jurij Vega 计算了 140 个小数字，但并非全部是正确的        137位小数
1794年
Adrien-Marie Legendre 证明 π&#178; 是无理数（则 π 也是无理数），并提及 π 是超越数的可能性         
1841年
Rutherford 计算了 208 个小数字，但并非全部是正确的        152位小数
1844年
Zacharias Dase 及 Strassnitzky        200位小数
1847年
Thomas Clausen        248位小数
1853年
Lehmann        261位小数
1853年
Rutherford        440位小数
1853年
William Shanks        527位小数
1855年
Richter        500位小数
1874年
William Shanks耗费 15 年计算了 707 个小数字，可惜1946年D. F. Ferguson发现其结果非全对        527位小数
1882年
Lindemann 证明 π 是超越数（Lindemann-Weierstrass 定理）

1946年
D. F. Ferguson 使用桌上计算器        620位小数
1947年
        710位小数
1947年
        808位小数
1949年
J. W. Wrench爵士和L. R. Smith首次使用计算机（ENIAC）计算 π，以后的记录都用计算机来计算的        2,037位小数
1953年
Mahler证明 π 不是Liouville 数

1955年
J. W. Wrench, Jr, 及 L. R. Smith        3,089位小数
1961年
        100,000位小数
1966年
        250,000位小数
1967年
        500,000位小数
1974年
        1,000,000位小数
1992年
        2,180,000,000位小数
1995年
金田康正
> 6,000,000,000位小数
1999年
金田康正和Takahashi        > 206,000,000,000位小数
2002年
金田康正的队伍        > 1,241,100,000,000 位小数

π的特性和相關方程
幾何：
若圓的半徑為 r，其圓周為 C = 2 π r
若圓的半徑為 r，其面積為 A = π r2
若椭圆的長、短兩幅分別為 a 和 b ，其面積為 A = π ab
若球體的半徑為 r，其体积為 V = (4/3) π r3
若球體的半徑為 r，其表面積為 A = 4 π r2
角度： 180 度相等於 π 弧度

代數
π 是個無理數，不可以是兩個整數之比，是由Johann Heinrich Lambert於1761年證明的。 1882年，Ferdinand Lindemann更證明了 π 是超越數，即不可能是某有理數多項式的根。
圓周率的超越性否定了化圓為方這古老尺规作图問題的可能性，因所有尺規作圖只能得出代數數。

數學分析
(Leibniz 定理)
(Wallis乘積)
(歐拉)


(斯特林(Stirling)公式)
(歐拉(Euler)公式)
π 有個特別的連分數表達式：

π 本身的连分数表达式(简写)为 [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,...]，其近似部分给出的首三个渐近分数



第一个和第三个渐近分数即为疏率和密率的值。数学上可以证明，这样得到的渐近分数，在分子或分母小于下一个渐进分数的分数中，其值是最接近精确值的近似值。
(另有 12 個表達式見於 [1] )

數論
兩個任意自然數是互質的概率是 6/π2。
一個任意整數沒有重復質因數的機會率為 6/π2。
一個任意整數平均可用 π/4 個方法寫成兩個完全数之和。

概率論
取一枚長為l的針，再取一張白纸在上面画上一些距离為2l的平行线。把針從一定高度釋放，讓其自由落體到纸面上。針與平行线相交的概率是圓周率的倒数（泊松针）。曾經有人以此方法來尋找 π 的值。

Dynamical Systems / Ergodic Theory

對[0, 1]中幾乎所有 x0，其中 xi 是 iterates of the Logistic map for r=4.

物理學
(海森堡測不準原理)
(相對論的場方程)

統計學
(The probability density function for the normal distribution.)

尚待解决的问题
关于 π 未解决的问题包括
&#8226;        它是否是一个 normal number，即 π 的十进制表达式是否包含所有的有限数列。对于二进位表达式，答案是肯定的，这是 Bailey 及 Crandall 于2000年从 Bailey-Borwein-Plouffe 方程的存在而引申出来的。
&#8226;        0,...,9是否以完全随机的形出现在 π 的十进制表达式中。若然，则对于非十进制表达式，亦应有类似特质。
&#8226;        究竟是否所有0,...,9都会无限地出现在 π 的小数表达式中。

文化

背诵π的位数
世界记录为67890位，呂超（中國西北農林科技大學生命科學學院碩士研究生）於2005年11月20日14時56分用24小時零4分鐘背誦圓周率π至小數點後67890位。

π在數學外的用途
&#8226;        在Google公司2005年的一次公開募股中，集資額不是通常的整頭數，而是$14,159,265，這當然是由π小数点後的位数得来。（顺便一提，Google公司2004年的首次公开募股，集资额为$2,718,281,828，与数学常数e有关）
&#8226;        排版软件TeX从第三版之后的版本号为逐次增加一位小数，使之越来越接近π的值：3.1，3.14，……当前的最新版本号是3.141592
&#8226;        3月14日为圆周率日

[ 本帖最后由 文世杰 于 3-4-2006 02:52 AM 编辑 ]