问题：三角函数

pipi 于 6-6-2004 01:51 PM  说 :
现在，试试这题;
证明：（当然不可用计算机）

sin(Π/5)[cos(2Π/5) + cos(4Π/5)] = sin(Π/5) [2cos(3Π/5)cos(Π/5)]
                                 = cos(3Π/5)sin(2Π/5)
                                 = -cos(2Π/5)sin(2Π/5)
                                 = -1/2 sin(4Π/5)
                                 = -1/2 sin(Π/5)
[cos(2Π/5) + cos(4Π/5) = -1/2

[ Last edited by sinchee on 9-6-2004 at 06:35 PM ]

铁蛋 于 9-6-2004 11:37 AM  说 :
设 a ≥ b ≥ c.

从 sine rule:

sin(a) / a + sin(b) / b + sin(c) / c = 3 sin(a) / a

sin(a) + (a/b) sin(b) + (a/c) sin (c) = 3 sin (a)...

pipi 于 9-6-2004 2:13 PM  说 ：
可能有点问题。。。因为当
(a/b -1)sin(b) + (a/c-1)sin(c)在变，sin(a) 也在变。...

是不是应该写成 ：
sin(A) / a + sin(B) / b + sin(C) / c = 3 sin(A) / a ... 咧 ？ ？ ？

铁蛋

抱歉。。。不好意思。。。低级错误！更改...

还是 sinchee 网友眼睛雪亮

[ Last edited by 铁蛋 on 9-6-2004 at 08:03 PM ]

情~風

我試試

pipi

多谢 sinchee 的指正。。。
我已修改了当中的错误。再次谢过。。。

sinchee 于 9-6-2004 06:31 PM  说 :
sin(Π/5)[cos(2Π/5) + cos(4Π/5)] = sin(Π/5) [2cos(3Π/5)cos(Π/5)]
                                 = cos(3Π/5)sin(2 ...

这个方法不错！

情~風 于 10-6-2004 12:48 AM   :

情~風 的方法一次过解了我的两个问题。。。
佩服！佩服。。。

[ Last edited by pipi on 18-6-2004 at 11:14 AM ]

pipi

情~風 所提到的柯西不等式，有兴趣的朋友可游览

http://www.ourmaths.com/htmlfile/p20031129142837.htm

http://www.sx110.com/ReadNews.asp?NewsID=598

http://mathworld.wolfram.com/CauchysInequality.html

[ Last edited by pipi on 10-6-2004 at 08:42 AM ]

pipi

sinchee 于 9-6-2004 06:31 PM  说 :
sin(Π/5)[cos(2Π/5) + cos(4Π/5)] = sin(Π/5) [2cos(3Π/5)cos(Π/5)]
                                 = cos(3Π/5)sin(2 ...

以 sinchee 的解法，我们又可以将问题一般化。
试试以下问题：


[ Last edited by pipi on 11-6-2004 at 03:54 PM ]

pipi

sinchee 提议比 ＂楼上(i)＂ 更加一般化的题目。如下：

pipi 于 6-6-2004 12:51  说 :
现在，试试这题;
证明：（当然不可用计算机）

（多普勒效应 曾经在＂数学挑战！＂
  强         曾经在＂奥林比克＂ 及＂难题＂ 问过 ...

我的解答


[ Last edited by wenshan on 29-6-2004 at 01:42 PM ]

pipi

之前的 "cos" 没有人理我 。。。
现在我又来啦，这次是 "sine" 的时候了。。。


[ Last edited by pipi on 22-7-2004 at 08:10 AM ]

多普勒效应

7(i) 懒惰的方法 :-P

铁蛋

这题看来可以推广。。。

2^n * sin[ pi/(2n+1) ] * sin [2pi / (2n+1)] * ... * sin [npi / (2n+1)] = sqrt(2n+1)

证了这个，就解决了这类的特别例子。

灰羊

pipi 于 2-6-2004 12:42 PM  说 :
3.

不用sin18,可用構造對偶法

灰羊

別人幫解的

(1)∵x^(2n+1)=1之2n+1個根為coskθ+isinkθ,k=0,1,2,...2n
∴由根與係數知:1+(cosθ+isinθ)+(cos2θ+isin2θ)+...+(cos2nθ+isin2nθ)=0
＝＞1+cosθ+cos2θ+...+cos2nθ=0.......(a)
∵cos(n+1)θ=cos(2n+2)π/2n+1=cos[2π-(2nπ/2n+1)]=cos2nπ/2n+1=cosnθ
同理:cos(n+2)θ=cos(n-1)θ,...,cos2nθ=cosθ,代入(a)式可得
＝＞1+2[cosθ+cos2θ+...+cosnθ]=0
∴cosθ+cos2θ+...+cosnθ=-1/2
====================================================================
(2)設S=coskθ+cos2kθ+...+cosnkθ
＝＞2sin(kθ/2)S=2sin(kθ/2)coskθ+2sin(kθ/2)cos2kθ+...+2sin(kθ/2)cosnkθ
=[sin(3kθ/2)-sin(kθ/2)]+[sin(5kθ/2)-sin(3kθ/2)]+...
[sin(2n+1)kθ/2-sin(2n-1)kθ/2]
=sin(2n+1)kθ/2-sin(kθ/2)
=2cos(n+1)kθ/2sin(nkθ/2),將θ=2nπ/2n+1代入
=2cos[kπ-(nkπ/2n+1)]sin(nkπ/2n+1)
=(-1)^k×2cos(nkπ/2n+1)sin(nkπ/2n+1)
=(-1)^k×sin(2nkπ/2n+1)
=(-1)^k×sin[kπ-(kπ/2n+1)]
=(-1)^k(-1)^(k+1)×sin[kπ-(kπ/2n+1)]
=-sin(kπ/2n+1)=-sin(kθ/2)
∴S=-1/2
故coskθ+cos2kθ+...+cosnkθ=-1/2