Arithmetic + Geometrical Series(求救)

多普勒效应

原题：一只松鼠为了过冬，取来一堆nuts（设为 k），第一天吃一粒及剩下的 1％。第二天吃两粒及剩下的1%,第三天吃三粒及剩下的1% ........第n天剩下n粒，就一次吃完。问，原本有几粒nuts?

经改造：
(k-1)99/100 -2)99/100 -3)99/100 ..... n-1)99/100 -n =0
求 k.

高手帮忙!!谢谢～～

星际浪子

试试看。。。不知对不对。。

Tn=第n天剩下的nuts
so
T1=K-(1+(K-1)/100)
  =(K-1)(99/100)
T2=T1-(2+(T1-2/100)
  =(T1-2)(99/100)
  =(K-1)(99/100)^2-2(99/100)
T3=(K-1)(99/100)^3-2(99/100)^2-3(99/100)
Tn=(K-1)(99/100)^n - 2(99/100)^n-1 - 3(99/100)^n-2...........-n(99/100)
Tn天。。吃到完。。。。Tn=0

(K-1)(99/100)^n - 2(99/100)^n-1 - 3(99/100)^n-2...........-n(99/100)=0
99/100=x
(k-1)x^n - 2x^n-1 - 3x^n-2...........-nx=0
(k-1)x^n - x^n(2/x + 3/x^2 + 4/x^3 +.........+ n/x^n-1)=0
不会解了。。。2/x + 3/x^2 + 4/x^3 +.........+ n/x^n-1？？

[ Last edited by 星际浪子 on 23-2-2004 at 05:18 AM ]

星际浪子

这题好难ler...中六的题目是每天都吃一样数目的nuts ler....竟然一天加一粒。。。

微中子

让

L[size=-4]n 代表第n天剩下的nuts.

L[size=-4]0 = k = 原本的数量.

             n = L[size=-4]n-1
(99/100)^0 L[size=-4]n-1 = (L[size=-4]n-2 - (n-1)) (99/100)^1
(99/100)^1 L[size=-4]n-2 = (L[size=-4]n-3 - (n-2)) (99/100)^2
...
...

(99/100)^(n-2)L[size=-4]1 = (L[size=-4]0 - 1) (99/100)^(n-1)
(99/100)^(n-1)L[size=-4]0 = k (99/100)^(n-1)

=>

S[size=-4]n = (99/100)^(n-1) k

S[size=-4]n=1(99/100)^(n-1)+2(99/100)^(n-2) + ... + (n-2)(99/100)^2 + (n-1)(99/100) + n(99/100)^0

(100/99)S[size=-4]n = 1(99/100)^(n-2)+2(99/100)^(n-3) + ... + (n-2)(99/100)^1 + (n-1)(99/100)^0 + n (100/99)

找出

(1-100/99)S[size=-4]n-1

可解.

应该是这样吧?

[ Last edited by 微中子 on 23-2-2004 at 02:37 PM ]

星际浪子

请问 2/x + 3/x^2 + 4/x^3 +.........+ n/x^n-1 有得解吗？

微中子

星际浪子 于 23-2-2004 05:47 PM  说 :
请问 2/x + 3/x^2 + 4/x^3 +.........+ n/x^n-1 有得解吗？

什么意思??? 不明白.

你指的是GP还是什么??

如果是要找

Sn = 2/x + 3/x^2 + ... + n/x^n-1,
x是什么???

但是,如果x是常数,
只要考虑

(1/x)Sn - Sn 应该是可以了.

星际浪子

上面是ap...下面是gp...
Sn = 2/x + 3/x^2 + ... + n/x^n-1
X=99/100

(1/x)Sn - Sn 是什么意思。。。。？？？

请问我的解法有问题吗？？？？

flyingfish

星际浪子 于 23-2-2004 02:38  说 :
试试看。。。不知对不对。。

Tn=第n天剩下的nuts
so
T1=K-(1+(K-1)/100)
  =(K-1)(99/100)
T2=T1-(2+(T1-2/100)
  =(T1-2)(99/100)
  =(K-1)(99/100)^2-2(99/100)
T3=(K-1)(99/100)^3-2(99/100)^2-3(99 ...

从星际浪子的式子:
(k-1)x^n - 2x^n-1 - 3x^n-2...........-nx=0
kx^n =  x^n + 2x^(n-1) +  3x^(n-2)..... +nx

现在试找右边式子,
让S= x^(n+1)+x^n+x^(n-1)..... x^2+x,
S是普通的GP和,能找出,这里省略了..
dS/dx = (n+1)x^n+ nx^(n-1)+......2x+1

(n+2)S-dS/dx =(n+2)x^(n+1) + [x^n + 2x^(n-1) +  3x^(n-2)..... +nx] -1

[ x^n + 2x^(n-1) +  3x^(n-2).. +nx]=(n+2)S-dS/dx +1 - (n+2)x^(n+1)
......

网友有兴趣可导出来看看,不好意思,今天很懒,哈哈..
也可以像星际浪子网友般变作(2/x + 3/x^2 + 4/x^3 +.........+ n/x^n-1)再作,不过我宁可之后才除x^n......(个人喜好)..

[ Last edited by flyingfish on 23-2-2004 at 10:38 PM ]

微中子

星际浪子 于 23-2-2004 09:19 PM  说 :
上面是ap...下面是gp...
Sn = 2/x + 3/x^2 + ... + n/x^n-1
X=99/100

(1/x)Sn - Sn 是什么意思。。。。？？？

请问我的解法有问题吗？？？？

Sn = 2/x + 3/x^2 + ... + n/x^n-1

(1/x)Sn = 2/x^2 + 3/x^3 + ... + n/x^n

想想,还是Sn - 1/x Sn 比较好

Sn - (1/x)Sn = 1/x + 1/x + 1/x^2 + 1/x^3 + ... + 1/x^n-1 - n/x^n

(x-1)/xSn = 1/x + n/x^n + (1/x)(1-(1/x)^(n-1))/(1-1/x)

差不多这样.

不过,我觉得我好像误解了你的问题.

哈哈.

[ Last edited by 微中子 on 23-2-2004 at 11:02 PM ]

flyingfish

微中子 于 23-2-2004 23:00  说 :


Sn = 2/x + 3/x^2 + ... + n/x^n-1

(1/x)Sn = 2/x^2 + 3/x^3 + ... + n/x^n

想想,还是Sn - 1/x Sn 比较好

Sn - (1/x)Sn = 1/x + 1/x + 1/x^2 + 1/x^3 + ... + 1/x^n-1 - n/x^n

(x-1)/xSn = 1/x + ...

微中子网友的解法比较好.
用S/x这一招比我用的differentiate招好多了..

Leong13

Help,who known how to do this question pls teach me .Expand(1+X)1/2 ,1/2is punca in aascending power of x until the term in x kuasa two and hence use your expansion to find an approximate value of punca 1.08.deduce taht punca12=3.464.

Leong13

one more question,(1+1/2x)kuasa n in r+1 term n r team?

蝎杰

the sum of 20 consecutive odd numbers is 1120.find the largest number and smallest number among these numbers.

题目要我找a和l，但题目没注明（前）２０个的总数是１１２０...我需要假设它是前２０个吗？？我只找到的答案又不一样，谁可替我解答呢？？（痛苦中...）

多普勒效应

蝎杰 于 20-3-2005 10:20 AM  说 :
the sum of 20 consecutive odd numbers is 1120.find the largest number and smallest number among these numbers.

题目要我找a和l，但题目没注明（前）２０个的总数是１１２０...我需要假设它是前２０个吗 ...

这题不难
设头一个是 x ，过后的就是 x+2 ,x+4 + .... x+ 38
  x + (x + 2) + (x + 4) + ... (x + 38) = 1120
20x + 380 = 1120
x = 37
x + 38 = 75
最小数为 37
最大数为 75

多普勒效应

第一楼的题目，
最后解得 原本有 99^2 粒
渡过了 99 天。
用 visual basic 验证过了 :-P

fritlizt

多普勒效应 于 20-3-2005 12:01 PM  说 :
第一楼的题目，
最后解得 原本有 99^2 粒
渡过了 99 天。
用 visual basic 验证过了 :-P

怎样解阿  。。。。。？？

灰羊

結果最後的解法式怎樣呢?

dunwan2tellu

把第n天当成第一天，则松鼠第一天吃的数量为 a_1 = n .

第２天吃的数量是
a_2 = 100/99 x a_1 x 1/100 + (n-1) =1/99 x a_1 + (n-1)

第３天吃的数量是
a_3 = 1/99 x (a_1+a_2) + (n-2)

以此类推，第n天吃
a_n = 1/99 x (a_1+a_2+...+a_｛n-1} ) + 1

不难看出a_1必须为99的倍数(a_2才会变成整数）。从而使到a_2,a_3,a_4...,a_{n-1} 都必须为99的倍数。所以设a_1 = n = 99k_1 则获得 a_2 = 100k_1 -1 . 由于a_2 是99的倍数则拿mod 99得到 k_1 = 1(mod 99) . 因此,对于所有的 a_k （k=1,2,3 ...,n-1)我们就有 k_1,k_2,k_3 ...k_{n-1} = 1 (mod 99) .

设 k_1 = 99p+1 , p=0,1,2,3....

若p=0 则k_i=1 (i=1,2,3..,n-1),因此a1=n=99.总共有99x99=9801个nuts

若p>= 1,因为 k_n = 100k_{n-1} -1  (这个可以推算出来.)，k_1 =99p+1 ,则用recursive formula 得到

k_n = 99px100^(n-1) + {98x100^(n-1) +1} /99  , n=1,2,3...

但是从 k_n = 1 (mod 99) 得知必须有

{98x100^(n-1) +1} /99  ＝ 1 (mod 99) . n=1时成立 但是 n>1时

{98x100^(n-1) +1} ＝ 0 (mod 9801) ，矛盾。 故p>=1时无解。