数学比赛结束

微中子

每一回合,数学比赛的题目将会在这里公布.
每星期四都会有新的问题,敬请留意.

规则请看
http://chinese.cari.com.my/myfor ... &showvoters=yes

有意参加的可以在那边报名.

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[ Last edited by 微中子 on 11-7-2004 at 10:46 AM ]

微中子

参赛者                           分数
1   情~風                        118
2   多普勒效应                    71
3   梵谷                          30
4   详圣                          20
5   湖俊                          18
6   第二代                        13
7   青菜                          12
8   自由万岁                       7
9   Dinasour恐龙                   5
9   yawchoong                      5
9   lavendar04                     5




所有报了名的网友名字将会出现在这里.
排名将从第1回合开始算起.

(名单有遗漏,或者有什么问题的请短消息通知我,谢谢)

比赛正在进行中也可以报名,所以如果现在忙着的网友,迟些再加入也无所谓.

[ Last edited by 微中子 on 25-7-2004 at 06:06 PM ]

微中子

(注:本回合并没有算分,而是测试比赛过程的一个回合,请大家支持!!!
    还有, 问题的程度可能会比普通的程度浅一点)
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1. 看看以下的三个等式:
   2^2 + 3^2 + 6^2  = 7^2
   3^2 + 4^2 + 12^2 = 13^2
   4^2 + 5^2 + 20^2 = 21^2
   注意到什么?
   可以把这种的等式一般化(就是说,给任何的整数,比如7,我们能够组成7^2 + 8^2 + 56^2 = 57^2)吗?
   为什么?
(Tiga kesamaan di atas mempunyai corak tertentu. Perhatikan corak di atas, adakah corak itu benar secara amnya? Buktikan)
(The above three equalities obey a certain pattern. Note the pattern and state whether it can be generalize to any integer. Include proof in your explanation.)

2. 在一项比赛里,一共有十道门.
   其中一道门后面有奖品.
   而你,身为参赛者,必须在十个里面选出其中一个.
   在选了其中一个之后,
   比赛主持人说:
   "不如我帮帮你."
   随着,主持人就开了在另外9道门中,
   其中一个没有奖品的门.
   然后,主持人问:
   "你想改变你的选择吗?"
   请问,你会不会改变主意,为什么?
(这题应该不用翻译了吧?)

3. 证明
   (x+y)/2 ≥ √(xy)
   (x ≥ 0 , y ≥ 0)
(证明 = buktikan = prove that)

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请勿将你的解答直接贴在论坛上,
所有的解答请短消息给微中子.
所有在公布网友解答公布后收到的解答将作废.

谢谢!

微中子的马来文忘了七七八八,请见量!.

[ Last edited by 微中子 on 24-4-2004 at 11:42 PM ]

微中子

第一题

第二代
2^2 + 3^2 + 6^2  = 7^2
3^2 + 4^2 + 12^2 = 13^2
4^2 + 5^2 + 20^2 = 21^2
thus,
a^2 + b^2 + ab^2 = c^2
b + ab - a = c
b + ab = c + a
b(1 + a) = c + a
b = (c + a) / (1 + a)

情~風
可以,一般式為 a^2+b^2+(ab)^2=(ab+1)^2 , b=a+1
則a^2+b^2=(ab+1)^2-(ab)^2=(ab)^2+2ab+1-(ab)^2=2ab+1
則a^2+b^2-2ab=1 ,所以(a-b)^2=1 ,因b=a+1

详圣
x^2 + (x+1)^2 + (x^2+x)^2 = x^4 + 2x^3 + 3x^2 + 1
                          = (x^2 + x + 1)^2
所以任何整数都可以这样。

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第二题

第二代
不会，因为 kebarangkalian 减低了，中奖的机会更高！

情~風
改變的話機率會比較高，舉例用三個就好了
設寶物在第二個
選第一個，主持人開第三個，你換就中，不換沒中
選第二個，主持人開第一/三個，你換沒中，不換就中
選第三個，主持人開第一個，你換就中，不換沒中

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第三题

情~風
(x-y)^2≥0
(x-y)^2+4xy≥4xy
(x+y)^2≥4xy
x+y≥2√(xy)
(x+y)/2=√(xy)

[ Last edited by 微中子 on 28-4-2004 at 09:23 AM ]

微中子

1.  在一间快餐店里，有两个学生在谈天。
    甲：唉，这次的考试糟透了。。。
    乙：没关系，今天的午餐我请客。
    甲：真的？
    乙：真的，只要你单一收据的数额是＄1.15，那你的午餐算我的。

    可是不管甲如何点餐，他都无法凑足＄1.15，为什么？
    （注：１。该店有１分钱到２块钱任何价格的食物
    　　　２。这是我们经常遇到的问题）

    提供者: flash

2.  设f为函数
    f(1) + f(2) + … + f(n) = n^2 f(n),   n是所有的正整数
    如果f(1) = 2004,求f(2004)
(
    f ialah satu fungsi yang ditakrifkan f(1) + f(2) + … + f(n) = n^2 f(n) di mana n ialah  nomber bulat positif. Cari f(2004) jika f(1)=2004

    f is a function that obeys the following relation f(1) + f(2) + … + f(n) = n^2 f(n) for all natural numbers n. Find f(2004) if f(1) = 2004
)

3.  证明
    sin(10) sin(20) sin(30) sin(40) sin(50) sin(60) sin(70) sin(80) =  3/256

    角度单位都是degrees.

    提供者::斷羽鳥

[ Last edited by 微中子 on 30-4-2004 at 09:34 AM ]

微中子

5月3号中午12点左右公布,
所有在网友解答公布后收到的答案作废!

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第一题

情~風
此快餐店是否有抽5%的稅???
1.3

青菜
......因为快餐店会在顾客食物的价格上加上政府收税。如果政府收税是5%，那么他必须买$1。0925的食物，这是不能的。
4.7

Dinasour恐龙
因为要服5%服务税,
RM1.15是RM1.15x(100/105)=RM1.095238
所以RM1.15的原价是 RM1.095238 ,没有可能有这个价钱.
4.7

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第二题

情~風

5.5

多普勒效应
f(1)+f(2)+....+f(n)=n^ f(n)      ---(1)
f(1)+....+f(n-1) =(n-1)^ f(n-1)  ---(2)
(1)-(2)=>
f(n) = n^ f(n) -(n-1)^ f(n-1)
移项后,
f(n) = ((n-1)/(n+1))f(n-1)
     = n-1/n+1 . n-2/n .... 1/3 .f(1)
     = 2f(1)/(n(n+1))
代入n=2004
f(2004)= (2.2004)/(2004.2005)
       = 2/2005
5.5

详圣
f(1) + f(2) + … + f(n) = n^2 f(n)-----------------1
f(1) + f(2) + … + f(n-1) = (n-1)^2 f(n-1)---------2

1 - 2 => f(n) = n^2 f(n) - (n-1)^2 f(n-1)
         (n^2-1)f(n) = (n-1)^2 f(n-1)
         f(n) = (n-1) f(n-1) / n+1

f(2004) = 2003/2005 x 2002/2004 x 2001/2003 x...x 3/5 x 2/4 x 1/3 x f(1)
        = 2 f(1) / 2005x2004
        = 2(2004)/ 2005x2004
        = 2 / 2005
5.5

青菜
f(1)+f(2)=2^2 f(2)
f(2)=2004/(2^2 - 1)

f(1)+f(2)+f(3)=3^2 f(3)
f(3)=(2^2)(3^2)(2004) / (2^2 - 1)(3^2 - 1)

f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=4^2 f(4)
f(4)=(2^2)(3^2)(4^2)(2004) / (2^2 - 1)(3^2 - 1)(4^2 - 1)

maka
f(2004) = 2003!2004! / (2^2 - 1)(3^2 - 1)(4^2 -1)...(2004^2 - 1)
3.0

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第三题

情~風
利用
(1/4)sin3x = sinx sin(60°-x) sin(60°+x)

5.3

多普勒效应
Lemma:   sin x sin(60-x) sin(60+x) = (sin3x)/4
        proof: sin x(sin60 cosx - cos60 sinx)(sin60 cosx + cos60 sin x)
               展开及用identity 和特别角，得 = (sin3x)/4

Solution: sin10 sin20 sin30 sin40 sin50 sin60 sin70 sin80
          = (sin10 sin50 sin70)(sin20 sin40 sin80)sin30 sin60   
          = 1/4 . 1/4 .sin30 .sin60 .sin30 .sin60
          = 3/256
5.3

青菜
sin10sin20sin30sin40sin50sin60sin70sin80
= (sin10sin80)(sin20sin70)(sin30sin60)(sin40sin50)
= (1/2)(\/3 / 4)(1/2)(kos70 - kos90)(1/2)(kos50 - kos90)(1/2)(kos10 - kos90)
= (\/3 / 32) (kos10) (kos50) (kos70)
= (\/3 / 32) (kos10) (1/2) (kos120 + kos 20)
= (\/3 / 64) (kos 10) (kos 20 - 1/2)
= (\/3 / 64) (kos10 kos20 - 1/2  kos10)
= (\/3 / 64) [ 1/2(kos30 + kos10) - 1/2 (kos10) ]
= (\/3 / 128) (\/3 / 2)
= 3/256  

sin(10) sin(20) sin(30) sin(40) sin(50) sin(60) sin(70) sin(80) =  3/256
4.5

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分数迟些会公布,
希望flash兄,pipi兄和有意当评审的网友将分数寄给我.
谢谢

[ Last edited by 微中子 on 5-5-2004 at 08:05 PM ]

微中子

1. (此题不可用计算机)  
证明59可以将7^3 + 5^6 + 3^9 – 21 x 25 x 27 除尽.

    Buktikan 59 membahagi tepat 7^3 + 5^6 + 3^9 – 21 x 25 x 27

    Prove that 59 divides 7^3 + 5^6 + 3^9 – 21 x 25 x 27
2.  20个同学在草地上围成一圈开营火晚会,有足量的巧克力糖给他们当点心.(以粒为单位,可以吃任意多粒) 晚会结束时,统计一下每个人吃的数量,发现不论每个人吃了多少粒,总有一些座位连在一起的人(可能一人或可含全部),他们吃的数量和为20的倍数,为什么?

    提供者: pipi

3.  你拥有很多的等边三角形在一张桌子上.你想用n个三角形组成一个六角形, 而且是每一个内角都相等的六角形. 最小的n是6,接下来是10和13. 请问n必须符合什么条件?

    You have a large number of congruent equilateral triangles on a table and you want to fit n of these together to make a convex equiangular hexagon. Obviously, n cannot be any positive integer. The smallest n is 6, the next smallest n is 10 and the next is 13. Determine the conditions for possible n.

[ Last edited by 微中子 on 18-5-2004 at 01:42 PM ]

微中子

第一题

情~風
原式=7^3+25^3+27^3-3*7*25*27
=(7+25+27)(7^2+25^2+27^2-7*25-25*27-7*27)
其中7+25+27=59
註:利用A^3+B^3+C^3-3ABC＝(A+B+C)(A^2+B^2+C^2-A*B-B*C-A*C)
[5.3]

多普勒效应
1. 7^3 + 5^6 + 3^9 -21.25.27
  =7^3 + 25^3 + 27^3 -3.7.25.27
  让 a=7
      b=25
      c=27
  a+b+c=59
7^3 + 5^6 + 3^9 -21.25.27
=a^3 + b^3 + c^3 -3abc
=a^3 +(b+c)(b^2 - bc + c^2) - 3abc
=a^3 +(59-a)((b+c)^2 - 3bc) - 3abc
=a^3 + 59[(b+c)^2-3bc] - a[(59-a)^2 - 3bc] - 3abc
=a^3 + 59[(b+c)^2-3bc] -59a(59-2a) - a^3 + 3abc - 3abc
=59[(b+c)^2-3bc] -59a(59-2a)
因为 59|59[(b+c)^2-3bc] -59a(59-2a)
[5.0]

yawchoong
(7^3 + 5^6 + 3^9 – 21 x 25 x 27 )/59
=[7^3+(5^3)(5^3)+(3^3)(3^3)(3^3)-(3x7x5x5x3x9)]/59
=[343+(125x125)+(27x27x27)-(81x175)]/59
=(343+15625+19683-14175)/59
=21476/59
=364
[1.5]

第二题

情~風
用鴿籠原理

把這群人都按順序邊上號碼(1~20)
然後接下來以 Sn 表示把號碼從 1 到 n 的人的糖果數加起來
那麼在 S1 到 S20 之中
如果有一個 Sk 除以 20 的餘 0 題目自然成立

如果沒有
那可能的餘數只有 1~19
那麼這 20 個 S 之中
必有一個 Si 除以 20 的餘數 = Sj 除以 20 的餘數 (j>i)
也就是說 Sj-Si 除以 20 餘 0
那麼從 i+1 到 j 的人的糖果數加起來必為 20 的倍數
[4.5]

第三题

情~風
考慮邊長為d之正三角形，從此三角形的三個角各切去一個小三角形，每個三角形邊長
為a,b,c，其中d>a+b, d>a+c, d>b+c.
則餘下的已包含了所有內角為120度的六邊形。
所以n=d^2-a^2-b^2-c^2而d>a+b, d>a+c, d>b+c.
[6.0]

多普勒效应
分两种这类型的equilangular hexagon
(1): 两行类，无法在它中央指出一个等边三角形。此种的，只能在 n=6 的两旁加一组共4个的小三角形形成equilangular 凸六边形，因此 ，n =4k + 6 ,k=1,2,3 ......
(2)：多行型，可在中央找出一个由 k^2 个小三角组成，共 k 行的等边三角形。考虑在大三角形的三边加上一个由2k+1个小三角形，一行的梯形（上边为k各单位，下边为k+1各单位）
形成一个equilangular hexagon。 n=k^2 + 3(2k+1)
另外，也可以在n=k^2 + 3(2k+1)的 hexagon 里的 triangle 的角上加一组 由 3个小三角形组成的 "1 -- 2"梯形。
所以 n= k^2 + 3(2k+1) + 3m  m=0,1,2,3
终结一下 n的类型可以为
n=4k + 6        k=1,2,3.....
n=k^2 + 3(2k+1) + 3m    k=2,3,4 .....   m=0,1,2,3
[4.3]

[ Last edited by 微中子 on 12-5-2004 at 02:58 PM ]

微中子

1.   a, b, c ≥ 0,
    假如a+b+c ≥ abc
    证明a^2 + b^2 + c^2 ≥ abc

    提供者: 多普勒效应(+3)

2.  某间买饼干的店，有三种不同的卖法.你可以选择买9块饼干一盒，12块饼干一盒或者25块饼干一盒。很明显的，我们无法购买任何数量的饼干。比如，无论我们如何买，都无法买11块饼干。请问，是不是有无限多这类我们无法购买的数量呢？如果没有，请找出在那些我们不可能买到的数量中，最大的值。

3.  请问从 2 到 200，000，000，000里,有那些号码既是平方（square）又是立方（cube）又是 fifth power （X＾5，不懂中文叫什么）。就是说,哪个号码可以同时写成a^2, b^3和c^5.a,b,c为整数.

    提供者: flash

[ Last edited by 微中子 on 13-5-2004 at 10:35 PM ]

微中子

第一题
情~風
令x=a^2+b^2+c^2，y=abc
設c<=b<=a
若a,b,c均大於或等於1，則a^2+b^2+c^2≧a+b+c≧abc
若不然，則至少有一數小於1，則c<1(因c是最小的)，
x/y= a/(bc)+b/(ca)+c/(ab)>a/b>=1，x>y，
a^2+b^2+c^2>abc
[4.0]

第二题
情~風
只能用9, 12, 25
9=3*3
12=3*4
因此可做出任何3*6以上3的倍數
25決定除以3的餘數
25*2=50
50+3*5=65
65以上的所有整數都買的到
因為只要以25*0或*1或*2控制於數
剩下的3的倍數差用9n+12m來補足
因此最大的不能買到的數目是65
[5.5]

多普勒效应
设 9块饼干 x 盒，
    12块饼干 y 盒
    25块饼干 z 盒
    9x + 12y + 25z = M
  A 为 所有可买的饼干数的集合
  M + 1= 9x + 12(y-2) + 25(z+1)
If y ≥ 2 ,M 属于 A ,则 M+1 属于 A
所以，取 y=1
M -1 = 9x + 12(y+2) + 25(z-1)
If z ≥ 1 ,M 属于 A ,则 M-1 属于 A
所以取 z=0
M+3 = 9(x - 5) + 12(y + 4) + 25z
If x ≥5 , M 属于 A ,则 M+3 属于 A
所以，取 x=4
9(4) + 12(1) =48
48 -1 =47
最大不可能组成的数为 47 .
[2.8]

第三题
情~風
2^30=1073741824
設n為此類數其中之一，令n=(p^x)*(q^y)*…*(r^z)為n之標
準分解性，其中p,q,…,r均相異質數。
(n不一定恰有3個質因數，可能僅1個，或2個或3或4或…或更多，)。
由於√n= (p^(x/2))*(q^(y/2))*…*(r^(z/2))為整數，故x是2的
倍數。
n^(1/3)= (p^(x/3))*(q^(y/3))*…*(r^(z/3))為整數，
故x是3的倍數。同理，x是5的倍數。[2,3,5]=30，
故此數必形如﹕x^30，x是整數。
2~200,000,000,000(12位數)中，不含1^30，故n最小為
2^30=1024*1024*1024<200,000,000,000
而3^30=9^15>8^15=2^45>(1024^4)*(2^5)>(1000^4)*32超過13位數，
故捨去3^30及4^30,5^30,……
[5.8]

多普勒效应
设这个号码为 X
X = a^2       X=b^3   X=c^5
所以 X=d^5
lg 200,000,000,000=lg(2 x 10^11)
                               =0.3010 +  11
                               = 11.3010
因为 X 在 interval [ 2 ,  2x10^11] 里,
所以 lg X = lg d^30 ≤ lg (2x 10^11) = 11.3010
30 lg d≤11.3010
lg d ≤ 0.3767
又 lg 2=0.3010
     lg 3=0.4771
所以 d ≤2
d 在 [2 , 200,000,000,000 ]
所以唯有 d=2
X = 2^30
[5.8]

详圣
2^15 , 2^10 , 2^6
因为3的30次方已经太多了。。。
[1.0]

[ Last edited by 微中子 on 19-5-2004 at 08:51 PM ]

微中子

只公开给非前三名网友参加的题目:

1.  小明：请问这五天的温度是多少？
    气象员：我不记得了，只知道每天的温度都不一样。还有这五天温度的积数（product）是 12。

    假设每天的温度是个整数，那这五天的温度是多少？

    提供者: flash

2.  我有三张卡，一张两面都是红色的，一张两面都是蓝色，还有一张一边蓝色，一边红色。现在，我选了其中一张，并让你看那张卡红色的一面。如果我要你猜一猜另一面是什么颜色,你觉得应该回答蓝色或者红色，你的胜算比较大？为什么？

公开题(全部参赛者可以回答)

3.  ΔABC中，∠A、∠B、∠C的对边长依次为a、b、c，如果∠B = 2∠C，则b^2 = c(a+c)。试证之。
    设上述ΔABC的三边长为三个连续整数，试求所有满足此条件的三角形。

[size=-1](For a triangle ABC, if the angle B is twice the angle C, prove that b^2 = c(a+c). Find all such triangles having 3 consecutive integers as the lengths of their sides.

Satu segitiga ABC mempunyai sudut B dua kali lebih besar daripada sudut C, buktikan b^2 = c(a+c). Cari semua segitiga jenis ini yang mempunyai 3 integer berturutan sebagai panjang tepinya.)

    提供者: pipi

4.

1883年，一位法國的數學家 Edouard Lucas 教授在歐洲的一份雜誌上介紹了一個相當吸引人的難題──迷人的智力遊戲。這個遊戲名為河內塔(Tower of Hanoi)，它源自古印度神廟中的一段故事(也有一說是 Lucas 教授為增加此遊戲之神秘色彩而捏造的)。傳說在古老的印度，有一座神廟，據說它是宇宙的中心。在廟宇中放置了一塊上面插有三根長木釘的木板，在其中的一根木釘上，從上至下被放置了64片直徑由小至大的圓環形金屬片。古印度教的天神指示祂的僧侶們將64片的金屬片移至三根木釘中的其中一根上。規定在每次的移動中，只能搬移一片金屬片，並且在過程中必須保持金屬片由上至下是直徑由小至大的次序，也就是說不論在那一根木釘上，圓環形的金屬片都是直徑較小的被放在上層。直到有一天，僧侶們能將64片的金屬片依規則從指定的木釘上全部移動至另一根木釘上，那麼，世界末日即隨之來到，世間的一切終將被毀滅，萬物都將至極樂世界。

摘自http://ccmp.chiuchang.com.tw/toy/hanoi/hanoi.html

    现在，我把以上的游戏改一改， 就是我们保留着三个木钉，不过是把它们排成一行。我再定下新的规则，即是所有的金属片只可以移动到旁边的木钉。

    如果，在最左边的木钉，我从上到下放置了n个直径由小到大的圆环型金属片，那么我至少要用多少次才能够把全部的金属片，搬到最右边的木钉？

    回答这个问题可以得到1分: 请问如果n=3的时候，至少需要搬几次，才能够完成游戏？

    （网友可以参考以上的网页寻找灵感）

5.  给任何3位数的整数n = 100a + 10b + c，定义f(n) = a + b + c + ab + bc + ca + abc。求所有符合n/f(n) = 1的n。

[size=-1](For any 3 digit integer n = 100a + 10b + c, define f(n) = a + b + c + ab + bc + ca + abc. Find all n statisfying n/f(n) = 1.

Untuk sebagai nombor bulat 3 angka n = 100a + 10b + c, takrifkan f(n) = a + b + c + ab + bc + ca + abc. Cari semua n memenuhi syarat n/f(n) = 1.)

[ Last edited by 微中子 on 21-5-2004 at 06:22 PM ]

微中子

第一题,

详圣
1,-1, 2,-2, 3
[3.3]


第二题,

详圣
蓝50% 红50%，无法确定
[0.0]


第三题,

情~風
作角B的角平分線交AC於D，延長BD至D'使得CD'//AB
在三角形ABC中，由角平分線定理，有
AB/AD=BC/DC
c/AD=a/(b-AD)
bc-c(AD)=aAD
AD=bc/(a+c)
DC=b-bc/(a+c)=ba/(a+c)
易證D'DC~CBA
因為角CD'B=角CBD'，故D'C=BC=a
CD'/CD=AC/AB
a/[ba/(a+c)] = b/c
(a+c)/b = b/c
b^2=c(a+c)

設∠B=2∠C，∠B的角平分線交AC於D。
BDC是等腰三角形
BD=DC
設BD=DC=x
又BAD~CAB
BA/CA=AD/AB=BD/CB
CA>BA，設BA=c，若BC=c+1
c/(c+2)=(c+2-x)/c=x/(c+1)
c/(c+2)=(c+2-x)/c
c^2=(c+2)(c+2-x)
c^2=c^2+4c+4-x(c+2)
x=(4c+4)/(c+2)

c/(c+2)=x/(c+1)
c(c+1)=(4c+4)/(c+2) *(c+2)
c^2+c=4c+4
c^2-3c-4=0
(c-4)(c+1)=0
y=4
故邊長為4,5,6的三角形符合題目條件
[5.7]


多普勒效应
ABC 是三角形
A+B+C=180
又 B=2C
=> A=180 - 3C
Sine Rule（好象叫正铉定理）
a/sinA = b/sinB = c/sinC
=> a/sin3C = b/sin2C = c/sinC
从 a/sin3C = c/sinC  
=> a/c = sin3C / sin C
           = (3sinC - 4sin^3 C)/sinC
           = 3- 4sin^2 C
           = 4cos^2 - 1   ---------(2)
从 b/sin2C = c/sinC
=> b/ (2sinC.cosC) = c/sinC
=> b=2c cosC
=> b^2 = 4c^2 cos^2 C
=> 4cos^2 C = b^2 /c^2-------(3)
把 (2) 代 (3)
得 a/c = b^2/c^2 -1
整理得
b^2 = c(a+c)
[3.0]


详圣
b^2 =  c^2 + a^2 - 2ac(cos∠B)
     =  c^2 + a^2 - 2ac(cos∠2C)
     =  c^2 + a^2 - 2ac[(cos∠C)^2-(sin∠C)^2]
     =  c^2 + a^2 - 2ac[2(cos∠C)^2-1]      
     =  c^2 + a^2 - 4ac(cos∠C)^2 + 2ac      
     =  c^2 + a^2 - 2ab(cos∠C) + 2ac
     =  c^2 + a^2 - (a^2 + b^2 -c^2) +2ac
     = 2c^2 - b^2 + 2ac
2b^2 = 2c^2 + 2ac
b^2 =  c^2 +  ac
[3.0]


第四题,

自由万岁
是26次吧？
[1.0]


情~風
定義T_n為移動n塊金屬片到最右的最小次數。
如果T_(n-1)為移動n塊金屬片的最小次數。
要移動第n塊金屬片，我們可以：
1. 用T_(n-1)次把(n-1)塊金屬片移到最右一行
2. 用1次把第n塊金屬片移到中間
3. 用T_(n-1)次把(n-1)塊金屬片移到最左一行
4. 用1次把第n塊金屬片移到最右一行
5. 再用T_(n-1)次把(n-1)塊金屬片移到最右一行
故 T_n <= 3T_(n-1) + 2

但是，無論如何做，我們都要先用兩次把最大的一塊移到最右一行，又用三次T_(n-1)來移到最右一行。即T_n>=3T_(n-1)+2
故T_n = 3T_(n-1)+2
T_n + 1 = 3(T_(n-1)+1)
解之，得T_n=3^n - 1
故最少用3^n-1來完成此遊戲

另,當n=3時,需要3^3-1=26次來完成
[6.7]


多普勒效应
n=3,22个步骤.
[0.0]


详圣
T(1) = 2  =  T(0)   + 2
  T(2) = 8  =  T(1)   + 2 x 3
  T(3) = 26 =  T(2)   + 2 x 3^2
  T(n) =       T(n-1) + 2 x 3^(n-1)
  T(3) = 26
[3.7]


第五题,

情~風
n=100a+10b+c>=(10b+9)a+a+b+c+9b=a+b+c+ab+b9+9a+ab9>=a+b+c+ab+bc+ca+abc=f(n).
等號成立當且僅當 b=9, c=9.
所以 n=199, 299, 399, 499, 599, 699, 799, 899, 999
[5.0]


多普勒效应
n = 100a + 10b +c
f(n) = a + b + c + ab + ac + bc + abc
因为 n 是三位数 ,
所以 0< a ≤9 ,0< b ≤9 . 0< c ≤9  ,且 a,b,c 属于 Z
n/f(n) = 1
=> n=f(n)
=> 100a + 10b + c = a + b + c + ab + ac + bc + abc
=> 99a + 9b -ab = c( a + b + ab)
c = (99a + 9a - ab)/(a + b + ab)  -------(1)
又 c ≤9    => (99a + 9a - ab)/(a + b + ab)≤9  
整理得 90a ≤ 10ab
9 ≤ b ,又 b≤9    ,所以 b=9
代入 (1)
c =(99a + 9*9 - 9a)/(a + 9 +9a) =9
代入 n 与 f(n) 原式 ，得
n=f(n) = 100a + 99
所以当 n/f(n) =1,  n =199, 299, 399, 499, 599, 699, 799, 899, 999.
[5.0]


详圣
f(n)=n
  99a + 9b = ab+bc+ac+abc
  因为ab+bc+ac+abc一定要可以除9
  如果任意除九的余数+起来是9,那么其他两个+起来除9是除不到9的
  所以惟有4个九的倍数+起来可以除9
  a,b,c=9
  答案：999
[2.7]

[ Last edited by 微中子 on 26-5-2004 at 04:57 PM ]

微中子

只公开给非前三名网友参加的题目:

1.  定义 (a, b) 为a和b的最大公因数。让p为质数，请问有几个正整数x（ 1≤x＜p^n, n 为正整数 ）符合(x, p^n) = 1？

好像当p = 3, n = 2, 答案是6，因为x = 1, 2, 4, 5, 7, 8.

    [size=-1]Define (a,b) as the greatest common divisor of a and b. Let p be a prime number, how many natural numbers x (1≤x＜p^n, where n is a positive integer) that statisfy (x, p^n) = 1?

    Takrifkan (a,b) sebagai factor sepunya terbesar bagi a dan b. Biar p nombor perdana, berapakah integer positif x (1≤x＜p^n, di mana n integer positif) yang memenuhi syarat (x, p^n) = 1?

2.  参考http://chinese.cari.com.my/myfor ... 127673&fpage=1.
    求
    1/(1*2*3) + 1/(2*3*4) + 1/(3*4*5) + … + 1/(98*99*100) 之值。

公开题(所有参赛者可以参加)

3.  从{0, 1, 2, 3, … 9}这十个数字里，我们可以选出任何四个数字 a < b < c < d，条件是a + b + c + d 是九的倍数。请问有几种这类的组合？

    提供者: 多普勒效应（+3分）

4.  陈太带着100块去买了n个价值2.10块的物品。如果她把这n个物品平分给3个人，那将剩下2个。如果她要平分给7个人，那她自己将剩下1个。求n最大之值。

5.  设m^2 + 2(n^2) = m^2 (n^2) – 2000 ，求m, n的整数解。
    提供者: 斷羽鳥

[ Last edited by 微中子 on 27-5-2004 at 10:59 PM ]

微中子

第一题



第二题
湖俊
步骤我用microsoft equator做出来的，但是我做成图像，好让你容易看，如果不清楚麻烦放大来看。。

[3.0]


第三题
情~風
24種
含 0 開頭的有 10 種組合，不含 0 開頭的有 14 種組合。

0126,0135,0189,0234,0279,0369,0378,0459,0468,0567,1269,1278,
1359,1368,1458,1467,2349,2358,2367,2457,3456,3789,4689,5679
[5]


湖俊
21个

[2.5]




第四题
情~風
n=2(mod 3)=1(mod 7)
n=21k+8
n<=21(4)+8=92
[2.0]


第二代
100 / 2.1 = 47.62
          = 47个完整的物品

如果她把这n个物品平分给3个人，那将剩下2个。如果她要平分给7个人，那她自己将剩下1个。

43/7，剩下一个， 43/3，剩下1个。
36/7，剩下一个， 36/3，完整除完。
29/7，剩下一个， 29/3，剩下2个。

所以， n 最大值 = 29
[5.0]


多普勒效应
设 n = 7x + 1 = 3y + 2  ------(1)
=>7x - 1 = 3y      -------------(2)
7x = 1 (mod 3)
  x = 1 (mod 3)
所以 x = 3k +1 ,k 是整数 。
代入 （1），得
n = 21k + 8
又 (2.1)n =< 100
所以     n < 50
=> 21k + 8 < 50
21k < 42
k < 2
所以，最大的整数 k 为 1
n = 21(1) + 8
最大的 n = 29
[5.5]


自由万岁
100/2.1<=47.xxx
     n<=47
    n/3,剩2个，n/7,剩1个

lets n=43, n/7,剩1个，n/3,剩1个
lets n=36, n/7,剩1个，n/3除完
lets n=29, n/7,剩1个，n/3剩2个

n<=29
[4.0]


湖俊

[4.0]




第五题
情~風
m^2+2(n^2)=(m^2)(n^2)-2000
(mn)^2-m^2-2n^2-2000=0
(m^2-2)(n^2-1)=2002
(m^2-2)(n^2-1)=2*7*11*13

m^2-2=2002,1001,286,182,154,143,91,26,77,22,14,2,7,11,13,1

m^2-2=14,2,7
n^2-1=143,1001,286

(m,n)=(4,12),(-4,12),(4,-12),(-4,-12)
[5.0]


多普勒效应
设 m,n 为正整数
m^2 + 2(n^2) = m^2 n^2 -2000
=> m^2 = 2 + (2002)/(n^2 - 1)
m^2 是整数
所以 ， (n^2 - 1) | 2002
2002 = 2 x 7 x 11 x 13
所以 2002 有 2 x 2 x 2 x2= 16 个 factor (忘了华文名称^^，soli)
Factors 是 ： 1，2，7，11，13，14，22，26，77，91，143，154，182，286，1001，2002
只有 143+1 = 144 = 12^2 是完全平方数。
n^2 -1 =143 => n=12 => m=4
所以 ，(m,n) = (4 ,12) 或 (-4,12) 或 (4,-12) 或 ( -4 ,-12)
[5.0]

[ Last edited by 微中子 on 5-6-2004 at 09:29 PM ]

微中子

只公开给非前三名网友参加的题目:

1. 请问, 如果我要搭飞机从在北纬40度 (latitude, 40N, 对吗?)的一个城市(longitude, 30W)到另一个也是在于北纬40度的城市(longitude 60W)。请问，最短的路线是如何？

2.  请问（1.5^2 x 8^16 x 125^16）有多少的位数？

    提供者: 多普勒效应

公开题(所有参赛者可以参加)

3.  设一直线上有n个点标红色，有n个点标蓝色。证明所有同色点两两配对的距离总和不大于所有异色点两两配对的距离总和。

    提供者: pipi

4.  有九個人，他們的年齡分別是10,21,22,23,24,31,40,86,87歲，已知其中有5個人的年齡總和是另外3個人年齡總和的4倍，試問剩下1個人的年齡是多少歲？

    提供者: 情~風(+3)

5.  设 (m^2 - n)(m - n^2) = (m + n)^2，求m, n的整数解(m, n ≠ 0)。

    提供者: 斷羽鳥

[ Last edited by 微中子 on 10-6-2004 at 10:05 PM ]

微中子

第一题
梵谷
向西走30度.
[1.0]

yawchoong
由于两个城市都在同一个latitude也就是40N.
只是longitude不同,相差的是三十度,两个城市都是在西方，所以最短的路线是向西再走三十度.
[1.0]

湖俊
最短的路线是
直接在latitude向东去30度（30*60*cos40=1378.9海里）

长的路线是
经过北极（{(180-40-40)*60}=6000海里）
[0.3]


第二题
梵谷
1.5^2*8^16*125^16
=2.25*2^48*(10/2)^48
=2.25*10^48
应该有49位数.
[3.0]

第二代
1.5^2 X ( 8^16 X 125^16)
=2.25 X (1000^16)
=2.25 X (10^3^16)
=2.25 X (10^48)
=2.25 X 10^48
所以， (1.5^2 X 8^16 X 125^16) 有49 位数。
[3.0]

yawchoong
49个位数
1.5^2 =2.25
8^16 =281,474,976,710,656
125^16=3.5527136788005009293556213378906e+33

（1.5^2 x 8^16 x 125^16）=2.25e+48
[2.2]

湖俊
2log1.5+16log8+16log125
        =48.35
        Antilog48.25=2.25*10^48
        共有49位数

[2.5]


第三题
情~風

[6]



第四题
第二代
有九個人，他們的年齡分別是10,21,22,23,24,31,40,86,87歲，已知其中有5個人的年齡總和是另外3個人年齡總和的4倍，試問剩下1個人的年齡是多少歲？

5個人的年齡總和是另外3個人年齡總和的4倍。
总和是五倍。所以，这八个人的岁数总和是五的倍数。
-假设剩下那个人是10岁，21+22+23+24+31+40+86+87=334，不是5的倍数。
-假设剩下那个人是21岁，10+22+23+24+31+40+86+87=323，不是5的倍数。
-假设剩下那个人是23岁，10+21+22+24+31+40+86+87=321，不是5的倍数。
-假设剩下那个人是24岁，10+21+22+23+31+40+86+87=320，是5的倍数。
-假设剩下那个人是31岁，10+21+22+23+24+40+86+87=313，不是5的倍数。
-假设剩下那个人是40岁，10+21+22+23+24+31+86+87=304，不是5的倍数。
-假设剩下那个人是86岁，10+21+22+23+24+31+40+87=258，不是5的倍数。
-假设剩下那个人是87岁，10+21+22+23+24+31+40+86=257，不是5的倍数。

所以，剩下1個人的年齡是24岁。
证明：21+22+40+86+87=256
      4 X (10+23+31)=256
[5.0]


梵谷
设九个人的年龄为a,b,c,d,e,f,g,h,i
  i是要找的年龄.
  (a+b+c+d+e)=4(f+g+h)
  年龄的总数是344
  (f+g+h)=(344-i)/5
  5 | 344-i
  i=24
[5.0]


多普勒效应
设五人年龄之和为 A
    另三人年龄之和为 B
    剩一人的年龄为 C
依题意  =>A = 4B
    A+B+C = 10+21+...+87
                  = 344
    4B+B+C  =344
    5B = 344 - C
B 是整数
所以 5|(344 - C)
    C = 4 (mod 5)
    依题意，所以, C =24
    B = 64 = 10+23+31
    C = 256 =21+22+40+86+87
剩一人年龄为 24
[5.0]

湖俊
那五个人分别是年龄 [21，22，40，86，87]
        那三人的则是 [10，23，31]
        剩下一人的年龄是24岁
[5.0]


第五题.
情~風
因為m>=n^2與n>=m^2至少有一個成立,不妨設m>=n^2
m=n^2+k(k>=0)

所以 km^2-kn-m^2-2mn-n^2=0
1.
k>=2
(k-1)m^2-kn-2mn-n^2=0
(k-1)(n^2+k)m-kn-2mn-n^2=0
(k-1)(n^2)m+(k-1)km-kn-2mn-n^2=0
(k-1)(n^2)m-kn-2mn<0
所以 n>0
(1)n>=3
n^2<m<kn/((k-1)n^2-2n)
n<k/ ((k-1)n^2-2n)
(k-1)n^3-2n^2<k
n^2((k-1)n-2)<k
9(3k-5)<k
所以 k=2
代入原式后無滿足n>=3的解
(2)n=2
代入原式后無滿足k>=2的解
(3)n=1
所以 m=3 滿足k=2
2.k=1
無非0解
3.k=0
m=1 n=-1
綜上有解
m=3 ,n=1;m=1,n= -1
n=3,m=1;n=1,m=-1

[6.5]

[ Last edited by 微中子 on 17-6-2004 at 05:43 PM ]

微中子

只公开给非前三名网友参加的题目:

1.  設2971、4983皆為方程式-x3 + ax2 – bx =6 的根，求a-b=?

    提供者: 辉文

2.  某国足球联赛由20组足球队参赛。每两队之间有两场赛事，胜方可得3分，和球两队各得1分。如果比赛结束后一共有n场比赛以和球收场，请问20队总分的和数是什么？

公开题(所有参赛者可以参加)

3.  有十个整数(不一定全部都不同，可以有重复)，其中任何九个数字的和，可以是82，83，84，85，87，89，90，91和92。请问那十个整数是什么？

    注:有十种可能性,必须考虑到完,九个和数是因为其中一个和数重复.

4.  比較(2002!)^2與2002^2002之間的大小關係。

    提供者: 情~風(+3分)

5.  请问有没有这个正整数N，根据以下的条件：
    - 最多只有2，3，5和7的质数因数。 （就是说，可以写成2^a 3^b 5^c 7^d，a,b,c,d 是>0的整数。）
    - 最后两个digit是11
    如果有的话，请找出最小的N, 如果没有的话，请解释为什么。

[ Last edited by 微中子 on 18-6-2004 at 12:42 PM ]

微中子

第一题
lavendar04

3.0


梵谷
设2971,4983,c为根
2971+4983+c=a
(4983)(2971)^2+(2971)(4983)^2+(2971)(4983)c=(2971)(4983)a----(1)
2971c+4983c+(2971)(4983)=b
c(4983)(2971)^2+c(2971)(4983)^2+(2971)^2*(4983)^2=(2971)(4983)b----(2)
2971*4983*c=-6----(3)
将(3)代入(2)和(1)
(4983)(2971)^2+(2971)(4983)^2-6=(2971)(4983)a---(4)
(2971)*(-6)+4983*(-6)+(2971)^2*(4983)^2=(2971)(4983)b---(5)
(4)-(5)
a-b={(4983)(2971)^2+(2971)(4983)^2-6+2971*6+4983*6-(2971)^2*(4983)^2}/(2971)(4983)
a-b=-14796539
3.0




第二题
自由万岁
从以上句子中，20队每队有38场赛事。题目为说明负方为何，便当作是0分论。那么，假如比赛结束后有N场和球赛，就有N分。接下来，每一队胜一场，就有另一队负一场。说明了20乘38场赛事里，扣除N，有一半是胜利赛事，所以，总分是：

((760-N) x (1/2) x (3)) + N
= 1140-0.5N分
1.5


梵谷
总共赛事=2(19+18+17+16+15+14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1)
          =380
n场赛事和赛得2n分,剩下380-n场赛事
总分=(380-n)*3+2n
=1140-n
3.0




第三题
lavendar04

2.0


情~風
設r是重複的數，a,b,c,d,e,f,g,h,i是其餘9數，T是10數總和。

T-a=82
T-b=83
T-c=84
T-d=85
T-e=87
T-f=89
T-g=90
T-h=91
T-i=92
T-r=82
10式相加，得10T-(a+b+c+d+e+f+g+h+i+r)=783+82=865。
10T-T=865，T=865/9，無解。

T-a=82
T-b=83
T-c=84
T-d=85
T-e=87
T-f=89
T-g=90
T-h=91
T-i=92
T-r=83
10式相加，得10T-(a+b+c+d+e+f+g+h+i+r)=783+83=866。
10T-T=866，T=866/9，無解。

T-a=82
T-b=83
T-c=84
T-d=85
T-e=87
T-f=89
T-g=90
T-h=91
T-i=92
T-r=84
10式相加，得10T-(a+b+c+d+e+f+g+h+i+r)=783+84=867。
10T-T=867，T=867/9，無解。

T-a=82
T-b=83
T-c=84
T-d=85
T-e=87
T-f=89
T-g=90
T-h=91
T-i=92
T-r=85
10式相加，得10T-(a+b+c+d+e+f+g+h+i+r)=783+85=868。
10T-T=868，T=868/9，無解。

T-a=82
T-b=83
T-c=84
T-d=85
T-e=87
T-f=89
T-g=90
T-h=91
T-i=92
T-r=87
10式相加，得10T-(a+b+c+d+e+f+g+h+i+r)=783+87=870。
10T-T=870，T=870/9，無解。

T-a=82
T-b=83
T-c=84
T-d=85
T-e=87
T-f=89
T-g=90
T-h=91
T-i=92
T-r=89
10式相加，得10T-(a+b+c+d+e+f+g+h+i+r)=783+89=872。
10T-T=872，T=872/9，無解。

T-a=82
T-b=83
T-c=84
T-d=85
T-e=87
T-f=89
T-g=90
T-h=91
T-i=92
T-r=90
10式相加，得10T-(a+b+c+d+e+f+g+h+i+r)=783+90=873。
10T-T=873，T=97，(a,b,c,d,e,f,g,h,i,r)=(15,14,13,12,10,8,7,6,5,7)

T-a=82
T-b=83
T-c=84
T-d=85
T-e=87
T-f=89
T-g=90
T-h=91
T-i=92
T-r=91
10式相加，得10T-(a+b+c+d+e+f+g+h+i+r)=783+91=874。
10T-T=874，T=874/9，無解。

T-a=82
T-b=83
T-c=84
T-d=85
T-e=87
T-f=89
T-g=90
T-h=91
T-i=92
T-r=92
10式相加，得10T-(a+b+c+d+e+f+g+h+i+r)=783+92=875。
10T-T=875，T=875/9，無解。
6.5


梵谷
十个整数中有两个数字是相同的
设为a,b,c,d,e,f,g,h,i,j
a+b+c+d+e+f+g+h+i=92
a+b+c+d+e+f+g+h+j=91
a+b+c+d+e+f+g+i+j=90
a+b+c+d+e+f+h+i+j=89
a+b+c+d+e+g+h+i+j=87
a+b+c+d+f+g+h+i+j=85
a+b+c+e+f+g+h+i+j=84
a+b+d+e+f+g+h+i+j=83
a+c+d+e+f+g+h+i+j=82
总和9a+8b+8c+8d+8e+8f+8g+8h+8i+8j=783
当a=b,9b=127(不是整数)
a=c,9c=119(不是整数)
a=d,9d=111(不是整数)
a=e,9e=103(不是整数)
a=f,9f=87(不是整数)
a=g,9g=71(不是整数)
a=h,9h=63(是整数)
a=i,9i=55(不是整数)
a=j,9j=47(不是整数)
因此十个数子是5,6,7,7,8,10,12,13,14,15
7.0




第四题
梵谷
2002!=(2002)(2001)......(2)(1)
       =(2002)(1)*(2001)(2)*.....(1002)(1001)
2002!有1001个terms(不知道中文怎样讲,派谢)   
(2002!)^2就有2002个terms
2002^2002=(2002)(2002)....(2002)
           也有2002个terms
(2002!)^2的每一个terms都>=2002
(2002!)^2比2002^2002大
8.0



第五题
情~風
明顯地，N不能有2和5這兩個質因數。
不難發現，當n是正整數時，

任何上述的組合，a和b是非負整數，(3^a)(7^b)≡1,3,7,9(mod20)

因此，符合題意的N不存在。
8.0


多普勒效应
设存在 这样的N
因为 N 是奇数，且 N 末尾数为 1
所以，N 不会有 2 或 5 这两个质因数。
i.e. N=3^x 7^y
3^x 7^y = 1 (mod 10)
{以下全部 (mod 10)}
但 3=3               7=7
     3^2= 9          7^2 = 9
     3^3 =7         7^3 = 3
    3^4 = 1         7^4 =1
所以 x = y (mod4)
=>  4 | (x-y)
若 y ≥ x ,
N = 21^x (7 ^(y-x))
    = 21^x (7^4k)  
由于 7^4 = 1 (mod100)
     所以 21^x = 11 (mod100)   
[以下的全部 (mod 100)]
但 21=21 , 21^2 = 41 ,21^3 =61 ,21^4 = 81 ,21^5 =1
没有 11


同立可证,x > y 时不存在此 N
所以不存在 这样的N
7.0

[ Last edited by 微中子 on 30-6-2004 at 12:58 PM ]

微中子

只公开给非前三名网友参加的题目:

1.  设三个数a, b 和c (a ,b c皆为不同的数字)。若任何两个数的差数是另外一个数的倍数，求证a, b和c不能都是正整数或负整数。

    例子：2, -3和5。
    2-（-3） = 5 = 5（1），
    5-2 = 3 = -3（-1），
    5-（-3）＝8＝2（4）。

2.  两个玩者轮流喊出1, 2, 3, 4, 5之中任何一数字。谁先喊出使得之前所喊所有数字总和为三十一他就赢了。假如你先喊的话，喊什么数字最有利？为什么？

公开题(所有参赛者可以参加)

3.  x^3 – x + a = 0 有三个整数解，求a可能之值。

4.  实数x, y 和z满足x^2 + y^2 + z^2 ＝2。
    证明x + y + z – xyz <= 2。
    提供者：pipi

5.  在某村庄中，有n个人。每天晚上，他们会聚在一起彼此交换有关村庄的事情。在每次交谈中，每个人都将其所知当天发生的事情全盘告诉对方。请问最少经过几次交谈后，每个人才能得到所有最新消息呢？（在交谈之前，每个人的消息和别人不同。每次交谈发生于两个人之间而已。）

[ Last edited by 微中子 on 5-7-2004 at 08:50 AM ]

微中子

第三题
情~風


多普勒效应
移项得 (x - 1)(x)(x + 1) =-a
若 X1,是整数 ,则 -a 是三连续整数之积。
当 a=0,x 共有 0,1,-1 三个解。
若 a 不等于零，只有X1（即最易见的解）是整数。
所以
a =0.



第四题
情~風



第五题
情~風
假設有A,B,C,D,E五人
A,B交談一次(訊息量2)
C,D交談一次(訊息量2)
B,E(訊息量3)
B,C(訊息量5)
E,D(訊息量5)
A,D(訊息量5)
六次

六人A,B,C,D,E,F
A,B(訊息量2)
B,C(訊息量3)
D,E(訊息量2)
E,F(訊息量3)
C,F(訊息量6)
B,E(訊息量6)
C,A(訊息量6)
F,D(訊息量6)
共8次

f(n), n>=4:
"分兩群，一群n-2人中有兩人會有n-2個訊息(take n-3 turns)，另一群2人中會有兩
人有2個訊息(take 1 turns);將此兩人分別連結，便有四人擁有n個訊息(take 2
turns)，剩下n-4人再分別找那四人談話就好了(take n-4 turns)"
total: 2n-4

[ Last edited by 微中子 on 11-7-2004 at 10:29 AM ]