完全平方数

铁蛋

sinchee 于 5-5-2004 11:14 AM  说 :
有没有人想过？？
为什么4个连续整数相乘后再加1，一定等于一个完全平方数？
例如：1*2*3*4+1 = 5^2
     2*3*4*5+1 = 11^2
     20*21*22*23+1 = 461^2
     ... ...

大家都答对了。小弟只想补充：
a(a-1)(a-2)(a-3) 展开后每个 term 的 coefficient 属于 Stirling numbers of the first kind. 有兴趣探索可前往 www.mathworld.com.

pipi

铁蛋 于 14-5-2004 11:29 AM  说 :


大家都答对了。小弟只想补充：
a(a-1)(a-2)(a-3) 展开后每个 term 的 coefficient 属于 Stirling numbers of the first kind. 有兴趣探索可前往 www.mathworld.com.

是这个
http://mathworld.wolfram.com/StirlingNumberoftheFirstKind.html ??

强

pipi 于 13-5-2004 03:39 PM  说 :


0 也是完全平方数吧？？
若是，
0 就是最小的完全平方数是由两个完全平方数组成

pai se, 纯粹捣蛋。。。

但是０是有两个一样的完全平方数组成

而25是两个不一样的



纯属无聊玩玩罢了

flyingfish

完全平方数是由两个完全平方数组成...

假如(x,y,z)是以下条件的解：
1.x^2+y^2=z^2,
2.x<y<z,
3.x,y,z都是整数,
4.要minimize (z-y)。

求(x,y,z), express y,z in terms of x

case1：x为奇数。
提示：
(3，4，5)
(5，12，13)
(7，24，25)
(9，40，41)。。。。


case2: x为偶数，x>4
提示：
(6,8,10)
(8,15,17)
(10,24,26)
(12,35,37)...

强

flyingfish 于 17-5-2004 03:44 PM  说 :
完全平方数是由两个完全平方数组成...

...

不一定吧？？

好比4＾２＝１６， 并不是由两个完全平方数组成

pipi

强 于 14-5-2004 01:30 PM  说 :



但是０是有两个一样的完全平方数组成

而25是两个不一样的



纯属无聊玩玩罢了

我再玩：
1 才是由两个不一样的完全平方数组成

flyingfish

强 于 18-5-2004 13:02  说 :
不一定吧？？

好比4＾２＝１６， 并不是由两个完全平方数组成

我的帖子写得是题目。。
是要找出＂完全平方数是由两个完全平方数组成＂的解，要符合以下的条件：
1.x^2+y^2=z^2,
2.x<y<z,
3.x,y,z都是整数,
4.要minimize (z-y)。

要找出它的规律（参考提示）

不好意思，表达的不好，哈哈。

强

pipi 于 18-5-2004 04:41 PM  说 :


我再玩：
1 才是由两个不一样的完全平方数组成

这点倒是没想过

pipi

来玩玩这一题。
证明或否定：
(i) 112233445566778899
(i) 122333444455555...9...9（最后是9个9）
是完全平方数。

[ Last edited by pipi on 22-5-2004 at 02:40 PM ]

flyingfish

1。可给11整除，但它的商数不能给11整除。
2。可给3整除，不能给9整除。

能不能给11整除，可用[(奇数位数和)-(偶数位数和)]的方法。
能不能给3，9整除，可用位数和的方法。。

可能有更好的方法，因为以上方法只是凑巧而已。

pipi

flyingfish 于 24-5-2004 10:42 AM  说 :
1。可给11整除，但它的商数不能给11整除。
2。可给3整除，不能给9整除。

能不能给11整除，可用[(奇数位数和)-(偶数位数和)]的方法。
能不能给3，9整除，可用位数和的方法。。

可能有更好的方法，因为以上 ...

没错！
不过，我的问题是

证明或否定：
(i) 112233445566778899
(i) 122333444455555...9...9（最后是9个9）
是完全平方数。

flyingfish

pipi 于 24-5-2004 12:40  说 :


没错！
不过，我的问题是

1。可给11整除，但它的商数不能给11整除。
2。可给3整除，不能给9整除
所以都不是平方数。

相当新鲜的解法。

奇数的平方有什么特征呢？？？

混是一种风格！！！

flyingfish

活死人 于 24-5-2004 20:10  说 :
相当新鲜的解法。

奇数的平方有什么特征呢？？？

混是一种风格！！！

刚试了，奇数=2n+1.
奇数平方数=(2n+1)^2=4n(n+1)+1
n(n+1)可给2整除，所以奇数平方数是8m+1这形式的。
真没想过原来奇数的平方有特征的。。

flyingfish

flyingfish 于 17-5-2004 15:44  说 :
找出"完全平方数是由两个完全平方数组成"的解...

假如(x,y,z)是以下条件的解：
1.x^2+y^2=z^2,
2.x<y<z,
3.x,y,z都是整数,
4.要minimize (z-y)。

求(x,y,z), express y,z in terms of x

case1：x为奇数 ...
case1：x为奇数。
提示：
(3，4，5)
(5，12，13)
(7，24，25)
(9，40，41)。。。。

case2: x为偶数，x>4
提示：
(6,8,10)
(8,15,17)
(10,24,26)
(12,35,37)...

有没有人要试我的题目？
再给提示：
1。和x^2的因数(factor)有关
2。要把x^2+y^2=z^2稍微变变。
3。用到persamaan serentak(联立方程组)。

很神奇的，只用以上中学学到的方法，就能解了。

pipi

flyingfish 于 24-5-2004 04:10 PM  说 :


1。可给11整除，但它的商数不能给11整除。
2。可给3整除，不能给9整除
所以都不是平方数。

＂派摄＂paise...
急急忙忙看贴子，没太仔细。。。

2。可给3整除，不能给9整除

不难看出。。。

1。可给11整除，但它的商数不能给11整除。

这就需要少许计算了，对吗？？

再来类似的一题：
证明：
**********99  （一个有 n (>=2) digits 的数字， 最后2个digits 是 "99" ）
不是完全平方数

[ Last edited by pipi on 25-5-2004 at 10:09 AM ]

flyingfish

我想我明白pipi网友要表达的意思了。。

奇数平方数p=(2n+1)^2=4n(n+1)+1

奇数平方数的necessary but insufficient conditions (必需但不足的条件？)：
1。 (p-1)能给4整除。(p的最后两位数能给4整除)
2。(p-1)能给8整除。(p的最后三位数能给8整除)
这两个条件，能很快看出pipi网友给的数是否平方数。。

我思考下去，看起来能找到奇数平方数的sufficient conditions (足够的条件？),网友们看看对不对..
和pipi网友和活死人网友想的一样吗?

A。n(n+1)= (p-1)/4 有整数n的解。
可知 n< sqrt[(p-1)/4]<n+1,
n, n+1只差1，所以n=floor( sqrt[(p-1)/4])

奇数平方数的sufficient conditions：
floor( sqrt[(p-1)/4])*{ floor( sqrt[(p-1)/4])+1 } = (p-1)/4
注：floor(x)=比x小最大的整数。

if   floor( sqrt[(p-1)/4])*{ floor( sqrt[(p-1)/4])+1 } = (p-1)/4,
p 是奇数平方数。
而sqrt(p)是2n+1 = 2* floor( sqrt[(p-1)/4]) +1 。。

例子：
如何证明p=1523999025是奇数平方数？(12345*12345= 1523999025)

(p-1)/4 = 38099756
n=floor( sqrt[(p-1)/4])=floor(6172.49)=6172
test if floor( sqrt[(p-1)/4])*{ floor( sqrt[(p-1)/4])+1 } = (p-1)/4   -------
-***

LHS=6172*6173=38099756= RHS
所以38099756是奇数平方数.
而sqrt(1523999025)是(2n+1)=12345


B.偶数平方数的sufficient conditions.

偶数平方数p=(2n)^2=4n^2
p/4=n^2有n的解.

假如p/4=偶数,就继续除4 (让m为除4的次数),直到变奇数,用之前的test奇数平方数的方法(让2q+1为那奇数平方数的sqrt)
n=(2^m)*(2q+1)

假如p/4..../4/4的过程出现偶数,但不能被4整除,p就不是偶数平方数.
假如变奇数后,不符合之前的条件,p就不是偶数平方数.

例子:
如何证明p=92416偶数平方数？(304*304=92416)

92416/4=23104
23104/4=5776
5776/4=1444
1444/4=361
(除了4次4)

test if floor( sqrt[(p-1)/4])*{ floor( sqrt[(p-1)/4])+1 } = (p-1)/4
RHS=(361-1)/4=90
n=floor(sqrt(90))=floor(9.487)=9
LHS=9*10=90=RHS

所以p=92416是偶数平方数..
sqrt(92416)=(2^4 )*(2*9+1)=304

flyingfish

刚刚又再想深一层,我之前的方法并没多大帮助,只是略为把大数变小一点点,还是要作大数的平方根...

以前好像看见独中课本有教求平方根的方法,现在忘了..

看得不是很明白，可以summarize吗？

pipi

再来类似的一题：
证明：
**********99  （一个有 n (>=2) digits 的数字， 最后2个digits 是 "99" ）
不是完全平方数

flyingfish 于 25-5-2004 11:20 PM  说 :
我想我明白pipi网友要表达的意思了。。

奇数平方数p=(2n+1)^2=4n(n+1)+1

奇数平方数的necessary but insufficient conditions (必需但不足的条件？)：
1。 (p-1)能给4整除。(p的最后两位数能给4整除)
2。(p-1)能给8整除。(p的最后三位数能给8整除)
这两个条件，能很快看出pipi网友给的数是否平方数。。

对对对！！！
（跟你玩数学，太爽了！！！）

那如果是
证明：
**********33  （一个有 n (>=2) digits 的数字， 最后2个digits 是 "33" ）
不是完全平方数

你的方法就不能证到了吧！hehehe...（有点奸）
（因为某些时候 p-1 是能给8整除的）


例子：
233-1 能给8整除，但 233 不是完全平方数
2672314734278432633-1 还是能给8整除，但 2672314734278432633 也不是完全平方数


[ Last edited by pipi on 26-5-2004 at 11:15 AM ]