数学训练～每日一题

初中的同学没学到归纳法喔 （Mathematical Induction)...

可以在这里预学...

辉文

jwyong 于 19-8-2004 00:06  说 :
初中的同学没学到归纳法喔 （Mathematical Induction)...

可以在这里预学...

呵呵，没关系的。可以先学。本人的学校有数学强化班，那些初中二开始都已经学了数学归纳法了。

chwk87

n^3 + 3(n^2)/2 + n/2=n/2(2n+1)(n+1)

如 果 n=1, 2n+1=3
      n=2, 2+1=3
      n=3, 3/2(3+1)=6

所 以 当 n=1， 4， 7。 。 。 。 ， 2n+1都 可 以 被 3除

      当 n 是 复 数 或 是 gandaan 3时 ，n /2 or n+1 or n/2(n+1)都 可 以 被 3除

强

pipi 于 18-8-2004 05:56 PM  说 :


强，n 为自然数。。。（我有回答到你的问题吗？）

paise..

一时弄错加法。。。

题目没问题

pipi

对于这一题：

若 n 为自然数，求证 n^3 + 3(n^2)/2 + n/2 能被 3 整除。

目前有以下的解答：

Leong_hikaru 于 18-8-2004 10:37 PM  说 :
答案：n=9

er... 我们要＂证明＂一道数学题，不是求 n 的值！
所以，请再试试！！

fritlizt 于 18-8-2004 10:48 PM  说 :
n^3 + 3(n^2)/2 + n/2 = (2n^3+3(n^2)+n)/2
2n^3+3(n^2)+n 肯定是偶数。 所以只要考虑 2n^3+3(n^2)+n 即可。3（n^2）肯定能被三整除。
...

fritlizt 网友的做法没错！不过长了些！
（有其他＂短＂的方法！）

chwk87 于 19-8-2004 12:11 AM  说 :
如 果 n=1, 2n+1=3
      n=2, 2+1=3
      n=3, 3/2(3+1)=6
所 以 当 n=1， 4， 7。 。 。 。 ， 2n+1都 可 以 被 3除
      当 n 是 复 数 或 是 gandaan 3时 ...

chwk87网友的想法与fritlizt 网友一样，不过做＂证明题＂不可以单靠例子，因为这是不足够的！！
另外，＂复数＂不是"gandaan"的意思！
＂复数＂是 complex number.

辉文 于 18-8-2004 11:29 PM  说 :
用数学归纳法也可以证明

也可以啦，不过。。。杀鸡焉用牛刀！
用初中的方法，就可以了！

辉文 于 18-8-2004 11:29 PM  说 :
当n=k+1时， (k+1)^3+ 3(k+1)/2+ (K+1)/2
=(k+1)/2[ 2(k+1)^2 +(k+1）+1]
=(k+1)/2[(2k+3)(k+2)]
这就是说当n=k+1时，命题也成立。

辉文兄，如何得到这个结论？？

[ Last edited by pipi on 12-10-2004 at 12:06 PM ]

pipi

今天第一天高中的题目，应该不算太难吧！
请多多支持！！

已知 (y+z)/(b+c) = (z+x)/(c+a) = (x+y)/(a+b)，
求证  (x+2y-3z)/(4x+5y-6z) = (a+2b-3c)/(4a+5b-6c)

至于上一题

若 n 为自然数，求证 n^3 + 3(n^2)/2 + n/2 能被 3 整除。

过两天，我再贴上我的解答！
还望大家不要吝啬给出解答，请＂慷慨解囊＂！！

强

n^3 + 3(n^2)/2 + n/2
=n/2(2n^2+3n+1)
=n/2(2n+1)(n+1)
=1/8*2n*(2n+2)*(2n+1)

2n*(2n+2)*(2n+1)肯定能给８除，又是三个连续号码。

所以..

辉文

先做这题：

已知 (y+z)/(b+c) = (z+x)/(c+a) = (x+y)/(a+b)，
求证  (x+2y-3z)/(4x+5y-6z) = (a+2b-3c)/(4a+5b-6c)

我用比较笨的办法，因为我想从(y+z)/(b+c) = (z+x)/(c+a) = (x+y)/(a+b)那里开始寻找x,z的值，因此我引用三元一次方程式，即：

x(b+c) + y(c-a) - z(a+b)=0   ---(1)
x(c-b) + y(a+c) - z(a+b)=0   ---(2)
-x(b+c) + y(a+c) + z(a-b)=0 ----(3)


(1) + (3) 得到  2cy-2bz=0
所以                 z= cy/b

(1) - (2) 得到  2bx-2ay=0
所以                 x = ay/b

好了， 现在把 x, z 代人式子(x+2y-3z)/(4x+5y-6z),即：

= _a/b + 2 -3(c/b)_
  4(a/b)+ 5 - 6(c/b)
注意，y已经去掉了，还有同分母去掉 B，就可以证明等於右边的式子

= _(a+2b-3c)_
  (4a+5b-6c)
(已证)

由於无法在这里表达分母，可能会不清楚，因此我附上图画让大家明白：



[ Last edited by 辉文 on 20-8-2004 at 12:40 PM ]

辉文

当n=k+1时， (k+1)^3+ 3(k+1)/2+ (K+1)/2
=(k+1)/2[ 2(k+1)^2 +(k+1）+1]
=(k+1)/2[(2k+3)(k+2)]
这就是说当n=k+1时，命题也成立。

pipi网友，数学归纳法的证明是这样的，从0开始判定式子，然后再假设任何一个值，我称为k，其实chwk87方法与我用归纳法方法一样，只不过那n是K+1。如果n是整数的话，我们可以从0开始，证明到K就行了，不必到K+1。

但是为什么要用K+1？首先我们知道n是自然数，如果n=0是无效的，所以必须从n=1证明，如果n=1使式子(命题)成立的话，那么n^3 + 3(n^2)/2 + n/2 就可以变成 k^3 + 3(k^2)/2 + k/2。当然我们不必知道K是什么，但是为了符合n是自然数，而且要命题成立的话，单说 k^3 + 3(k^2)/2 + k/2是不够的，你要做进一步的证明，即n=k+1，别忘记，没有考虑0。

n^3 + 3(n^2)/2 + n/2=n/2(2n+1)(n+1)

chwk87的做法与我也是一样，只不过我用K+1的方法证明。

而且如果n=1，n=k使式子成立的话，必然n=k+1也一定成立的。

不知道我的解释有没有符合你的要求？

chwk87

请 问 自 然 数 是 什 么 ？  我 是 读 政 中 的 ， 所 以 不 大 明 白 华 文 的  matematical terms。

微中子

chwk87 于 19-8-2004 10:03 PM  说 :
请 问 自 然 数 是 什 么 ？  我 是 读 政 中 的 ， 所 以 不 大 明 白 华 文 的  matematical terms。

自然数 = natural number = nombor tabii (好像是啦~)

pipi

辉文 于 19-8-2004 03:16 PM  说 :
pipi网友，数学归纳法的证明是这样的，从0开始判定式子，然后再假设任何一个值，我称为k，其实chwk87方法与我用归纳法方法一样，只不过那n是K+1。如果n是整数的话，我们可以从0开始，证明到K就行了，不必到K+ ...

而且如果n=1，n=k使式子成立的话，必然n=k+1也一定成立的。

辉文网友，谢谢你的解释！
在这里，我做个补充：数学归纳法的证明未必从0（也未必从1）开始判定式子，而是看题目的要求！

另一点，当我们用数学归纳法，要证明命题 n=k+1 成立，都需要用到命题 n=k 成立这个假设！

所以，我的问题是

当n=k+1时， (k+1)^3+ 3(k+1)/2+ (K+1)/2
=(k+1)/2[ 2(k+1)^2 +(k+1）+1]
=(k+1)/2[(2k+3)(k+2)]
这就是说当n=k+1时，命题也成立。

为何得到这个结论？？（这里没有用到命题 n=k 成立这个假设！）

chwk87的做法与我也是一样，只不过我用K+1的方法证明。

之前说了:做＂证明题＂不可以单靠例子，因为这是不足够的！！
例子：我们知道 3,5,7 都是质数。 但不能就因为这三个例子得到＂大于 1 的奇数都是质数！＂这个结论！

再补充一点，若可证明命题 n=k+1 成立，而不需要用到命题 n=k 成立这个假设的话，那我们大可直接证明原题，而不需要用数学归纳法！

[ Last edited by pipi on 20-8-2004 at 10:02 AM ]

pipi

强 于 19-8-2004 02:21 PM  说 :
n^3 + 3(n^2)/2 + n/2
=n/2(2n^2+3n+1)
=n/2(2n+1)(n+1)
=1/8*2n*(2n+2)*(2n+1)

2n*(2n+2)*(2n+1)肯定能给 8 除，又是三个连续号码。

所以..

就是这样！！
注：三个连续整数的积必定是 6 的倍数！
再注：n 个连续整数的积必定是 n! 的倍数！

[ Last edited by pipi on 21-8-2004 at 12:24 AM ]

pipi

这几天的讨论不错，请不要停了下来！

20/08/2004，星期五
a,b,c,d 为任意正数，
设 S = a/(a+b+d) + b/(a+b+c) + c/(b+c+d) + d/(a+c+d)
求证：  1 < S < 2

21/08/2004，星期六
已知 7^82 + 8^161 能被 57 整除，
求证 7^83 + 8^163 也能被 57 整除。

22/08/2004，星期日
设 p(x) = a + bx + 3cx^2 + dx^3 + 5ex^4 为一实数多项式。
已知 a + c + e = 0，求证 p(x) = 0 在区间 [-1,1] 中有一实根。

p/s: 也许这两天未能上网，所以先把问题贴上！(12:40AM,21/08/04)
p/s: 结果，我今天(4:20PM, 21/08/04)还是来了!

[ Last edited by pipi on 21-8-2004 at 04:19 PM ]

fritlizt

21/08/2004，星期六
已知 7^82 + 8^161 能被 57 整除，
求证 7^83 + 8^163 也能被 57 整除。

设 7^82 + 8^161 = k

7^83 + 8^163 = 7^82+(6*7^82) + 8^161+(63*8^161)

             =k + 3(2*7^82+21*8^161)
            
             = k + 3（2k + 19*8^161)
            
             = k + 6k + 57*8^161
k 能被57 整除。
所以 k + 6k + 57*8^161 也能被57整除

pipi

19/08/2004，星期四的题目

辉文 于 19-8-2004 03:00 PM  说 :
先做这题：[quote]已知 (y+z)/(b+c) = (z+x)/(c+a) = (x+y)/(a+b)，
求证  (x+2y-3z)/(4x+5y-6z) = (a+2b-3c)/(4a+5b-6c)

我用比较笨的办法，因为我想从(y+z)/(b+c) = (z+x)/(c+a) = (x+y)/(a+b)那里开始寻找x,z的值，因此我引用三元一次方程式，即：

x(b+c) + y(c-a) - z(a+b)=0   ---(1)
x(c-b) + y(a+c) - z( ... [/quote]
这个做法可行！其实并没有所谓＂笨＂的方法！只有可行不可行而已！
当然，在比赛时就得用一些＂快速＂的方法了！不过，我们这里只是玩玩，应该让它百花齐放！
所以，若各位看官有其他的方法，请贴上来，大家交流交流！

21/08/2004，星期六的题目

fritlizt 于 21-8-2004 01:31 AM  说 :
[quote]已知 7^82 + 8^161 能被 57 整除，
求证 7^83 + 8^163 也能被 57 整除。

设 7^82 + 8^161 = k
7^83 + 8^163 = 7^82+(6*7^82) + 8^161+(63*8^161)
             =k + 3(2*7^82+21*8^161)
             = k + 3（2k + 19*8^161)
             ... [/quote]
这个解答当然正确！
不过，同样的，如果你有解答，还请你贴上它吧！谢谢！

辉文

22/08/2004，星期日
大专(C1) 设 p(x) = a + bx + 3cx^2 + dx^3 + 5ex^4 为一实数多项式。
         已知 a + c + e = 0，求证 p(x) = 0 在区间 [-1,1] 中有一实根

如果p(x)=0在 区间 [-1,1]有实根的话，则我们可以考虑x=-1 或 x=1

p(1) = a + b + 3c + d + 5e = 0 --------(1)
p(-1)= a - b + 3c - d + 5e = 0 --------(2)
加上    a + c + e = 0 -----------------(3)

(1)+(2)           2a + 6c + 10e = 0
                   a + 3c + 5e = 0 ------(4)   

(4)-(3)               2c + 4e =0
                            c = -2e

把 c=-2e 代入 第(3)方程式，得到， a=e

把 a=e, c=-2e 代入 第(2)方程式，得到， e-b+3(-2e)-d+5e=0
                                                     b=-d

即所得的P(x)方程式为， p(x)= e + bx  + 3(-2e)x^2 - bx^3  + 5ex^4  (注意 b=-d)
把式子整理                 = e - 6ex^2 + 5ex^4 + bx - bx^3
因式分解                   = (5ex^2 -e)(x^2-1) + bx(x^2-1)
抽出(x^2-1)                = (x^2-1)(5ex^2+bx-e)

现在，得到的结论是 p(x)= (x^2-1)[ 5ex^2+bx-e)。为什么我会得到这个结论？原因是，因为我可以利用判别式 b^2-4ac 来检验 当 p(x)=0，在区间[-1,1]是否有实根，现在检验开始：
               
从 5ex^2 + bx -e检验 ，设5ex^2 + bx -e= ax^2+bx+c
应用判别式子，   delta= b^2-4ac
                      = b^2-4(5e)(-e)
                      = b^2+20e^2

从这点可以下结论，b与e无论等於什么数字，delta永远大于零或者等於零，不会小於零。既然delta大於等於(>=)零，以这个结论可以论证p(x)=0，在区间[-1,1]有实根。那实根就是(x^2-1)(5ex^2+bx-e)。

虽然不晓得以上证明的方法是否正确，但是我还是放上来让大家讨论。

sooshi

chwk87 于 16-8-2004 19:36  说 :
(16082004)(26082004) - (16082005)(26082003)
=(16082004)(26082003+1) - (16082004+1)(26082003)
=(16082004)(26082003)+(16082004) - (16082004)(26082003)-(26082003)
=16082004-26082003
=-9999999

想请教
为什么=(16082004)(26082003+1) - (16082004+1)(26082003)
是=(16082004)(26082003)+(16082004) - (16082004)(26082003)-(26082003)怎么变的
请教教我

sooshi

chwk87 于 17-8-2004 19:52  说 :
X^2+2X+3=0

So, x^2+2x=-3

    (x^2+2x)=(-3)^2
    x^4+4x^3+4X^2=9
    x^4+4x^3+4X^2+3x^2+6x+3=9+3x^2+6x+3
    x^4+4x^3+7X^2+6x+3=3(X^2+2X+3+1)
                      =3(0+1)
               ...

我数学很差
可以告诉我是如何变的吗?

x^4+4x^3+4X^2=9
    x^4+4x^3+4X^2+3x^2+6x+3=9+3x^2+6x+3

如何来的
x^4+4x^3+4X^2=9
x^4+4x^3+4X^2+3x^2+6x+3=9+3x^2+6x+3
为何要加3x^2+6x+3

pipi

辉文 于 22-8-2004 01:26 AM  说 :
如果p(x)=0在 区间 [-1,1]有实根的话，则我们可以考虑x=-1 或 x=1
p(1) = a + b + 3c + d + 5e = 0 --------(1)
p(-1)= a - b + 3c - d + 5e = 0 --------(2)

这里有问题！！
注意：p(x)=0 在 区间 [-1,1]有实根，并不代表 p(1)=p(-1)=0。
基于你的假设有问题，这方法不可行！
不过还是谢谢你的分享！！
请再接再厉！

p/s:
不好意思，再给个comment，假设你的做法正确，以下这句话

那实根就是(x^2-1)(5ex^2+bx-e)。

也有问题！！因为(x^2-1)(5ex^2+bx-e)不是什么实根，而只是 p(x) 的因式分解而已！！
共勉之！

[ Last edited by pipi on 22-8-2004 at 02:02 AM ]