数学训练（十月份）

06/10/2004，星期三
初中(A24) 已知 a = x + 1
               b = x + 2
               c = x + 3
          求 a^2 + b^2 + c^2 - ab -bc - ca 之值。

我的解答：
ab = (x + 1)(x + 2)
     = x^2 + 3x + 2
bc = (x + 2)(x + 3)
     = x^2 + 5x +6
ac = (x + 1)(x + 3)
     = x^2 + 4x + 3
(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 c^2 + 2ab + 2bc + 2ac
a^2 + b^2 c^2 = (a + b + c)^2 - 2ab - 2bc - 2ac
                        = (3x + 6)^2 - 2ab - 2bc - 2ac
                        = 9x^2 + 36x + 36 - 2ab - 2bc - 2ac
                        = 3(3x^2 + 12x + 12) - 2ab - 2bc - 2ac
                        = 3(ab + bc + ac) + 3 - 2ab - 2bc - 2ac
                        = 3 + ab + bc + ac         
a^2 + b^2 + c^2 - ab -bc - ca
= 3 + ab + bc + ac - ab -bc - ca
= 3


[ Last edited by 止战之殇 on 6-10-2004 at 11:52 AM ]

38女

01/10/2004，星期五
高中(B20) 如图，PQ，QR，RP 个别是个别圆的直径；而 A,B,C 则各为阴影部分的面积。
          求证： A + B = C
           （已解）
          （答案：--）
          （解对者：fritlizt，eeCyang，sinchee，灰羊）

解：
QR = (PQ^2 + PR^2)^(1/2)
半圆PQR = (1/2) * PI * (QR/2)^2
        = (PQ^2 * PI  + PR^2 * PI)/8
半圆PQ = (1/2) * PI * (PQ/2)^2 = (PI * PQ^2)/8
半圆PR = (1/2) * PI * (PR/2)^2 = (PI * PR^2)/8
三角形C = (1/2) * PQ * PR
空白处 = 半圆PQR - 三角形C = (PI * (PQ^2 + PR^2) - 4*PQ*PR)/8   ，已省略步骤
A + B = 半圆PQ + 半圆PR － 空白处
      = (PI * PR^2)/8 + (PI * PQ^2)/8 - (PI * (PQ^2 + PR^2) - 4*PQ*PR)/8
      = (1/2) * PQ * PR
      = C

史奴比{^_^}

止战之殇 于 6-10-2004 10:12  说 :

我的解答：
ab = (x + 1)(x + 2)
     = x^2 + 3x + 3
bc = (x + 2)(x + 3)
     = x^2 + 5x +6
ac = (x + 1)(x + 3)
     = x^2 + 4x + 3

止战之殇 ： 好粗心啊！ (x+1)(x+2) 怎能的 “+ 3” ？？

38女

史奴比{^_^} 于 6-10-2004 10:29 AM  说 :

止战之殇 ： 好粗心啊！ (x+1)(x+2) 怎能的 “+ 3” ？？

我还在研究怎么他的答案和我不一样呢……
真谢谢你提醒了。

史奴比{^_^} 于 03-09-2004 10:29  说 :



止战之殇 ： 好粗心啊！ (x+1)(x+2) 怎能的 “+ 3” ？？

谢谢提醒！ 我已改过答案了。

fritlizt

pipi 于 30-9-2004 07:33 PM  说 :
08/10/2004，星期五
高中(B23) 有两堆棋子，数目相等．两人玩耍，每人可以在一堆里任意取几颗，但不能同时在两堆里取，规定取得最后一颗者胜。
          求证后取者可以必胜。 （待解）
          （答案：）
          （解对者：）

如果剩下最后三颗，我拿到玩，算不算我胜？？

灰羊

有两堆棋子，数目相等．两人玩耍，每人可以在一堆里任意取几颗，但不能同时在两堆里取，规定取得最后一颗者胜。
求证后取者可以必胜。.

=========================================================================================
若拿多少顆都可以....

A先拿完1堆,則B把剩下的一堆都拿完,B勝

A先拿一部份,B把那堆拿剩一個,
情況1:
A把剩下一個拿掉,B把另一堆全拿,B勝

情況2:
A拿另一堆的全部,B把剩下一個拿掉,B勝

情況3:
A拿另一堆的一部分,B把那部份也拿剩一個,
則A只能拿其中一堆的一個(2堆都只剩一個),B勝

B必勝

灰羊

有個超快的方法
a = x + 1
b = x + 2
c = x + 3

a^2+b^2+c^2-ab-bc-cd
=a(a-b) + b(b-c) + c(c-a)
=2c-a-b
=3

史奴比{^_^}

灰羊 于 7-10-2004 00:29  说 :
有個超快的方法
a = x + 1
b = x + 2
c = x + 3

a^2+b^2+c^2-ab-bc-cd
=a(a-b) + b(b-c) + c(c-a)
=2c-a-b
=3

对哦。。怎么没想到！！
谢谢。。

灰羊 于 7-10-2004 12:29 AM  说 :
有個超快的方法
a = x + 1
b = x + 2
c = x + 3

a^2+b^2+c^2-ab-bc-cd
=a(a-b) + b(b-c) + c(c-a)
=2c-a-b
=3

i got a solution also :

a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=[(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2]/2...

多多指教！

史奴比{^_^}

sMIL3 于 8-10-2004 03:46  说 :


i got a solution also :

a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc=[(a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2]/2...

多多指教！

和我的答案一样啊。
之前我贴过了，应该是没错。

史奴比{^_^} 于 8-10-2004 07:35 AM  说 :


和我的答案一样啊。
之前我贴过了，应该是没错。

哈哈不好意思，但是我一看到就想要这样做了，所以也没有去看有没有人回答了，反正都是待解题

[ Last edited by sMIL3 on 8-10-2004 at 12:15 PM ]

for cos(cosX):
when (cosX)=1(maximum),cos(cosX) is minimum
:.when X=0,cos(cosX) is minimum
:.cos(cos0)≦cos(cosX)≦1
:.cos1≦cos(cosX)≦1

如图：

我不知道我这样做对不对，请多多指教！

pipi

灰羊 于 7-10-2004 12:29 AM  说 :
有個超快的方法
a = x + 1
b = x + 2
c = x + 3

a^2+b^2+c^2-ab-bc-cd
=a(a-b) + b(b-c) + c(c-a)
=2c-a-b
=3

这个方法好！！

sMIL3 于 8-10-2004 11:48 PM  说 :
for cos(cosX):
when (cosX)=1(maximum)
:.when X=0,cos(cosX) is minimum
:.cos(cos0)≦cos(cosX)≦1
:.cos1≦cos(cosX)≦1
...

sMIL3，好久不见。欢迎回来！！
（从躺着的baby变成怒发的小孩？？？）
用图来解，也是个不错的方法！！
有没有人尝试尝试用 algebraic 的方法来解？？
（eeCyang的方法基本上也是以图来解释！！）
给个提示：试试用Maclaurin Series。
可参考：
http://mathworld.wolfram.com/MaclaurinSeries.html

[ Last edited by pipi on 10-10-2004 at 08:01 AM ]

灰羊

用圖來解不算證明吧
我這裡有個別人的解法,
星期天過後再貼出來吧
只是不用寫我的名字了

灰羊 于 7-10-2004 12:22 AM  说 :
A先拿一部份,B把那堆拿剩一個,
情況1:
...
...

不對﹗不對﹗﹗﹗
A先拿一部份,B把那堆拿剩一個,

還有情況4﹕
如果 A 將另一堆拿剩一個﹐
那麼﹐不管 B 怎麼拿﹐都輸了﹗﹗﹗﹗﹗
                    

[ Last edited by sinchee on 9-10-2004 at 07:32 PM ]

灰羊 于 9-10-2004 01:36 PM  说 :
用圖來解不算證明吧
我這裡有個別人的解法,
星期天過後再貼出來吧
只是不用寫我的名字了

为什么呢？图解不算解吗？

pipi 07/10/2004，星期四
高中(B22)
          （待解）

[ Last edited by sinchee on 10-10-2004 at 10:42 AM ]

pipi 于 9-10-2004 09:49 AM  说 :

这个方法好！！

这个答案也是精简！！


sMIL3，好久不见。欢迎回来！！
（从躺着的baby变成怒发的小孩？？？）
用图来解，也是个不错的方法！！
有没有人尝 ...

开学了有点忙哈哈！不过兴趣是不变的对吗？

首先，证明 ln(x/lnX)≥1:
y=ln(x/lnX)
dy/dx=(lnX-1)/(xlnX)
(e,1) is the minimum point lies on y

:.由此可知:
ln(π/lnπ)>1 (因为π>e)
lnπ-ln(lnπ)>1
lnπ>1+ln(lnπ)
lnπ>ln(elnπ)
π>elnπ
πlne>elnπ
ln(e^π)>ln(π^e)
:.e^π>π^e