【纪念当年的帖子（2008）】高級數學纲要笔记

Enceladus

Find the turning points of the curve y =xpower of 3/3 -4x.Determine whether each of these points is a maximum of a minimum point.
Answer=Maximum point is (-2,16/3)
             Minimum point is (2,-16/3)

我这样做
3y=3xpower of 2 - 12
然后我就做不下去了。

请各位前辈帮帮忙

乙劍真人

Given y=3xpower of 2 + 2/x, find the approximate change in y if x decreases frm 2 to 1.98.
Answer is -0.23

我的做法如下：
y=3xpower of 2 + 2/x
6x-2/xpower of 2
6(0.02)-2/(0.02)power of 2
0.12-2/0.0004
2=0.000048
y=0.000024

我很奇怪，请真人帮忙指点一下。
Enceladus 发表于 31-12-2009 01:59 PM

看来你还是在犯同样的错误..

Approximate change 是教你用 delta y = dy/dx x delta x 这个方程式哦..

y = 3x² + 2/x
dy/dx = 6x - 2/x²

delta y = dy/dx x delta x --- (*)
          = 6x - 2/x² x (-0.02)
          = 6(2) - 2/(2)² x (-0.02)
          = -0.23

注：放进 dy/dx 的 x 是原本的 (也就是 2)
     如果新的 x 是下降 (由 2 变 1.98)，delta x 必须放 -ve sign (-0.02)..

Enceladus

怪不得我看到很奇怪，做了半天都做不出。

Enceladus

我懂我哪里出错了，我把dx的放进去x的位置了。

乙劍真人

Find the turning points of the curve y =xpower of 3/3 -4x.Determinewhether each of these points is a maximum of a minimum point.
Answer=Maximum point is (-2,16/3)
             Minimum point is (2,-16/3)
我这样做
3y=3xpower of 2 - 12
然后我就做不下去了。

请各位前辈帮帮忙

不，第一步就误解了..

y = x³/3 - 4x

你要找 turning point 就必须做 differentiation,
dy/dx = x² - 4 ---(*)

For turning point, let (*) to be 0:
x² - 4 = 0
      x = +/- 2
When x = -2, y = 16/3
When x = 2, y = -16/3

i.e. turning points are (-2, 16/3) & (2, -16/3).

题目是叫你 determine 这两个 turning point 哪一个是 max point 哪一个是 min point.
所以你必须做多一次 differentiation

From (*), d²y/dx² = 2x

For (-2, 16/3),d²y/dx² = 2(-2)
                              = -4 <0
Since d&#178;y/dx&#178; <0, (-2, 16/3) is maximum point.

For (2, -16/3),d&#178;y/dx&#178; = 2(2)
                              = 4 >0
Since d&#178;y/dx&#178; >0, (2, -16/3) is minimum point.

乙劍真人

我懂我哪里出错了，我把dx的放进去x的位置了。
Enceladus 发表于 31-12-2009 02:46 PM

就是咯..

没关系,只要你懂哪里犯错,考试就不要犯了..加油

Enceladus

不大明白，，为什么会有一个16/3？

Enceladus

因为我的老师花两天就教完了，所以我对他根本是完全不懂。

乙劍真人

因为我的老师花两天就教完了，所以我对他根本是完全不懂。
Enceladus 发表于 31-12-2009 02:53 PM

没关系，学习的第一步就是在 545# 那边用红色 highlight 回复给我看你那一步不明白..

乙劍真人

不大明白，，为什么会有一个16/3？
Enceladus 发表于 31-12-2009 02:51 PM

哦..
因为 turning point 是一个 coordinate, 有 x 就必须要有 y 嘛..

当你的 x 找到了，就把它放进 equation y 找 value y.

e.g: 你用 dy/dx 找到的 x 是 -2 跟 2 （你只找到 x 还没有找到 y，所以还不能凑成一个 turning point）

接下来你就把 x = -2 & x = 2 sub. 进 y = x&#179;/3 - 4x

当你把 x = -2 放进去，你就会得到 y = 16/3
当你把 x = 2 放进去，你就会得到 y = -16/3

所以你的 turning points 就是 (-2, 16/3) & (2, -16/3)..

Enceladus

我看懂了，谢谢你的指教。你比我的老师教的还仔细。资质愚钝的我，让前辈费心了。

乙劍真人

我看懂了，谢谢你的指教。你比我的老师教的还仔细。资质愚钝的我，让前辈费心了。
Enceladus 发表于 31-12-2009 03:24 PM

不客气，我以教尽天下的学生为己任..

Enceladus

真可惜啦，如果有你做我学校的 add maths 老师的话，我们就不用那么辛苦了。

Enceladus

为什么会有dpower of 2y/dxpower of 2=2x?

乙劍真人

为什么会有dpower of 2y/dxpower of 2=2x?
Enceladus 发表于 31-12-2009 03:35 PM

1st differentiate = dy/dx
2nd differentiate = d&#178;y/dx&#178;
3rd differentiate = d&#179;y/dx&#179;
---
以此类推..

e.g: y = x&#179;/3 - 4x

dy/dx = x&#178; - 4
d&#178;y/dx&#178; = 2x
dy&#179;/dx&#179; = 2

Enceladus

那些spherical的我完全不懂在问些什么，以下有两题希望真人可以帮忙解释顺便讲一下sphere的题目是怎样做的。
（A）The volume, V cmpower of 3, of water in a spherical vesselis given by V=*hpower of 2/3 (15-h), where h cm is the height of the volume if height of the water increases at a rate of 0.4cmspower of -1 when its height is 3 cm. Give the answers in terms of *

*是那个3.142的标志。
Answer=8.4*cmpower of 3 spower of -1

(B)The radius of a sphere decreases from 3cm to 2.95cm. Find the approximate change in the volume an surface area of the sphere. Give the answers in terms of *
Answer=dV=1.8*cmpower of 3, dA=-1.2*cm power of 2

要命，我完全不懂再问什么。SPM出7到九题酱多。

乙劍真人

那些spherical的我完全不懂在问些什么，以下有两题希望真人可以帮忙解释顺便讲一下sphere的题目是怎样做的。

（A）The volume, V cm&#179;, of water in a spherical vesselis givenby V=πh&#178;/3 (15-h), where h cm is the height of water in the vessel. Find the rate of increase of the volume if height of the water increases at a rate of 0.4cm s&#8315;’ when itsheight is 3 cm.
Give the answers in terms of π

Answer=8.4πcm&#179; s&#8315;’

这种题目只要你捉到窍门就很容易了..

以后你看到这种问 rate of increase 还是 rate of decrease 的题目，
只要用 chain rule 就可以 solve 了。

chain rule: dy/dx = dy/dt x dt/dx
也就是说我们必须找到第三者是谁。

E.g: If rate of increase of volume, 我们就用 dV/dt
      If rate of decrease of area, 我们就用 dA/dt

Step 1: 题目问 rate of increase of volume,
所以呢，根据 chain rule: dV/dt = dV/O x O/dt ---(*)

Step 2: 我们必须从题目找到 O 里的第三者。
线索1：Volume 是 V in terms of h;
线索2：0.4 是 height 的变化。

所以呢，第三者就是 h..^^

Therefore, from (*) dV/dt = dV/dh x dh/dt

Given V=πh&#178;/3 (15-h)
                = 5πh&#178; - (1/3)πhfile:///C:/DOCUME%7E1/LEOWYO%7E1/LOCALS%7E1/Temp/moz-screenshot-1.jpgfile:///C:/DOCUME%7E1/LEOWYO%7E1/LOCALS%7E1/Temp/moz-screenshot-2.jpg&#179;file:///C:/DOCUME%7E1/LEOWYO%7E1/LOCALS%7E1/Temp/moz-screenshot.jpg

dV/dh = 10πh - πh&#178;

i.e.dV/dt = dV/dh x dh/dt
            = 10πh - πh&#178; x 0.4 ---(1)

Sub. h = 3 into (1),   dV/dt = 8.4πcm&#179; s&#8315;’

(B)The radius of a sphere decreases from 3cm to 2.95cm. Find theapproximate change in the volume an surface area of the sphere. Givethe answers in terms of *
Answer=dV=1.8*cmpower of 3, dA=-1.2*cm power of 2

要命，我完全不懂再问什么。SPM出7到九题酱多。

(B) 你跟着我在 542# 的方法试试做看..

p/s: SPM 不会出 7-9 题那么多的啦..放心

Enceladus

回复 557# 乙劍真人


    对于前辈的指导，我感激涕零。
我会试试前辈的方法，去做习题.
p/s:还是上网读前辈的笔记好了。

walrein_lim88

回复  乙劍真人


    对于前辈的指导，我感激涕零。
我会试试前辈的方法，去做习题.
p/s:还是上网读 ...
Enceladus 发表于 31-12-2009 07:34 PM

还做到吗？感觉上你好象不是很明白dy/dx.

Enceladus

回复 559# walrein_lim88


    是咯是咯，没办法笨小孩一个，领悟能力有限。因为我不懂要怎样应用。死脑筋啦！