数学训练～每日一题

sooshi

jwyong 于 18-8-2004 23:06  说 :
初中的同学没学到归纳法喔 （Mathematical Induction)...

可以在这里预学...

归纳法（Mathematical Induction)...
到底是什么来的

可以教我吗？

谢谢

pipi

sooshi 于 22-8-2004 01:50 AM  说 :
想请教
为什么=(16082004)(26082003+1) - (16082004+1)(26082003)
是=(16082004)(26082003)+(16082004) - (16082004)(26082003)-(26082003)怎么变的
请教教我

或者我们可设
x = 16082004
y = 26082003
那么那问题便可写成
  x(y+1) - (x+1)y
= xy + x - xy - y
= x - y
= -9999999

sooshi 于 22-8-2004 01:56 AM  说 :
可以告诉我是如何变的吗?
x^4+4x^3+4X^2=9

chwk87 用的方法是我们学过的
(a+b)^2 = a^2 + 2ab +b^2  （请自行检查）

    x^4+4x^3+4X^2+3x^2+6x+3=9+3x^2+6x+3
如何来的
x^4+4x^3+4X^2=9
x^4+4x^3+4X^2+3x^2+6x+3=9+3x^2+6x+3
为何要加3x^2+6x+3

这是chwk87 用的技巧，是为了符合题目提出的
x^4 + 4x^3 + 7x^2 + 6x + 3

希望我回答到你的问题！

辉文

pipi 于 22-8-2004 02:01  说 :

这里有问题！！
注意：p(x)=0 在 区间 [-1,1]有实根，并不代表 p(1)=p(-1)=0。
基于你的假设有问题，这方法不可行！
不过还是谢谢你的分享！！
请再接再厉！

p/s:
不好意思，再给个 ...

首先先谢谢pipi网友的指正，让小弟对数学的深入认识，但小弟还有问题发问：

pipi网友，我有不明白的地方：

问题1：

注意：p(x)=0 在 区间 [-1,1]有实根，并不代表 p(1)=p(-1)=0。

如果[1,-1]是指x在那范围时，p(x)=0有实根，为何不能说 p(1)=p(-1)=0？因为我初步认为区间里的1, -1也是p(x)=0的根，因为它俩是在[-1,1]的区间，进一步的说法(x+1)(x-1)是p(x)的因式。因为如果(x+1)(x-1)是p(x)的因式的话，根据因式定理， 如果p(x)有因式的话， p(x)=0，所以我才会把1，-1当因式处理，不是当它是实数根处理。这样一来，可以找到写出p(x)的方程式，然后用判别式证明。

我还有问题：p(x)=0有实根，我对这句话还是感到模糊。不过如果我们要证明 p(x) = 0 在区间 [-1,1] 中有一实根，是不是一定要用判别式子 b^2-4ac才能证明？

问题2：

因为(x^2-1)(5ex^2+bx-e)不是什么实根，而只是 p(x) 的因式分解而已！！

我记得以前老师对我说：如果 P,Q是方程式 f(x)=ax^2+bx+c的根，则f(x)=(x+p)(x+Q)
因为                   P+Q = -b/a
                        PQ = c/a
所以 f(x)也是 x^2+ (P+Q)x + PQ。

可能我犯了一个错，我还没写完因为我忘了这个(x^2-1)(5ex^2+bx-e)式子还是p(x)的因式，如果假设方法对的话， p(x)的根是 1, -1 以及5ex^2+bx-e的解。其实我应该证明到5ex^2+bx-e有实数根就够了。

当然，还不能说我的方法正确，也许是概念的错误。但是还是希望pipi网友能解答我的两个疑问，谢谢。谁有正确的解法，不妨放上去分享。谢谢。

[ Last edited by 辉文 on 22-8-2004 at 02:05 PM ]

sooshi

pipi 于 22-8-2004 01:14  说 :

或者我们可设
x = 16082004
y = 26082003
那么那问题便可写成
  x(y+1) - (x+1)y
= xy + x - xy - y
= x - y
= -9999999

chwk87 用的方法是我们学过的
(a+b)^2 = a^2 + 2ab +b^2  （请自行检查）
...

谢谢你pipi
我又学到新的东西了

pipi

辉文网友，

辉文 于 22-8-2004 11:18 AM  说 :
如果[1,-1]是指x在那范围时，p(x)=0有实根，为何不能说 p(1)=p(-1)=0？

p(x)=0有实根，我对这句话还是感到模糊。

当我们说：p(x)=0 在 区间 [-1,1]有实根，就表示存在着 a (-1 ≤ a ≤ 1)，使到 p(a) = 0。
（a 的值是什么？我们根本不晓得！）

因为我初步认为区间里的1, -1也是p(x)=0的根，因为它俩是在[-1,1]的区间

若是以这样的逻辑，我们是不是可以说 1/2 （或0 或 -0.1234 ）也是p(x)=0的根??

如果我们要证明 p(x) = 0 在区间 [-1,1] 中有一实根，是不是一定要用判别式子 b^2-4ac才能证明？

若 p(x) = ax^2 + bx +c  （一元二次方程式），我们才可以用判别式子 (b^2-4ac) 来判别 p(x)=0 有没有实根。

如果 P,Q是方程式 f(x)=ax^2+bx+c=0的根，则f(x)=(x+p)(x+Q)
因为                   P+Q = -b/a
                        PQ = c/a
所以 f(x)也是 x^2+ (P+Q)x + PQ。

应该是
f(x) = k(x-P)(x-Q)才对！
注意 f(x)不一定是 x^2 - (P＋Q)x + PQ。
例子： f(x) = 3(x-1)(x-2) = 0 的根是 1及2，但不代表f(x)就一定是 x^2 - 3x + 2。


sooshi网友，

sooshi 于 22-8-2004 12:22 PM  说 :
谢谢你pipi
我又学到新的东西了

不客气！祝学习愉快！

[ Last edited by pipi on 22-8-2004 at 04:08 PM ]

辉文

pipi 于 22-8-2004 16:06  说 :
辉文网友，


当我们说：p(x)=0 在 区间 [-1,1]有实根，就表示存在着 a (-1 ≤ a ≤ 1)，使到 p(a) = 0。
（a 的值是什么？我们根本不晓得！） ...

谢谢pipi网友，一语惊醒梦中人。

不过想知道有谁证明到星期日的题目吗？

强

7^82 + 8^161 被５７除
7^83 + 8^163 =7*(7^82)+64*(8^161)=7*(7^82+8^161)+57*(8^161)也被５７除

设 p(x) = a + bx + 3cx^2 + dx^3 + 5ex^4 为一实数多项式。
         已知 a + c + e = 0，求证 p(x) = 0 在区间 [-1,1] 中有一实根。

还是不会

可不可以这样？

p(x) = a + bx + 3cx^2 + dx^3 + 5ex^4

证明 p(-1) 和 p(1) 的＋，－符号相反？（要仔细想想.......）

fritlizt

m.......应该没错吧。
不过不排除 p(1) 及 p(-1) 双方都是正数或负数。

[ Last edited by fritlizt on 24-8-2004 at 02:12 AM ]

pipi

上个礼拜未解的题目：

20/08/2004，星期五
高中(B2) a,b,c,d 为任意正数，设 S = a/(a+b+d) + b/(a+b+c) + c/(b+c+d) + d/(a+c+d)
         求证：  1 < S < 2 （待解）

22/08/2004，星期日
大专(C1) 设 p(x) = a + bx + 3cx^2 + dx^3 + 5ex^4 为一实数多项式。
         已知 a + c + e = 0，求证 p(x) = 0 在区间 [-1,1] 中有一实根。 （待解）

我在这里给个提示：
(i)   若 x,y,z > 0, 则 x/y > x/(y+z)
(ii)　试试考虑 ∫p(x) dx （由 x=-1 至 x=1）　

大家加油！！

[ Last edited by pipi on 24-8-2004 at 08:34 AM ]

fritlizt 于 24-8-2004 02:06 AM  说 :
m.......应该没错吧。
不过不排除 p(1) 及 p(-1) 双方都是正数或负数。

[ Last edited by fritlizt on 24-8-2004 at 02:12 AM ]

这个嘛。。。

我想如果p(-1) & p(1) 双方都是正数或双方都是负数，那么在[-1，1]这区域就“没有实数根”或“多过1个实根”了。(但题目说只有1实根)

em.... p(-1) & p(1) either 是 0 或正负不一样... 不知概念对不对...？

但pipi网友建议另一方法，待会儿有空再想。。。

[ Last edited by jwyong on 24-8-2004 at 09:37 AM ]

啊！！算到了。。。

面积是０。

也就是说： -1 ---> 根的面积 ＝ 根---> 1 的面积。

（i.e 在［－１，１］内，两片面积相同的，一片在x轴上，另一片是在x轴下，所以其根在［－１，１］内）

对吗？



＊谁能写出比较严谨的数学证明，请帮忙＊

pipi

设 p(x) = a + bx + 3cx^2 + dx^3 + 5ex^4 为一实数多项式。已知 a + c + e = 0，求证 p(x) = 0 在区间 [-1,1] 中有一实根。

jwyong 于 24-8-2004 09:32 AM  说 :
这个嘛。。。
我想如果p(-1) & p(1) 双方都是正数或双方都是负数，那么在[-1，1]这区域就“没有实数根”或“多过1个实根”了。(但题目说只有1实根)
em.... p(-1) & p(1) either 是 0 或正负不一样... 不知概念对不对...？

注意：在数学问题上，往往会说
有一实根 或存在着一个解。。。
这里＂一＂的意思是＂至少一个＂！！

再注：若题目要我们证明它只有一个解，那可能是这样子说：＂求证它有唯一解＂(it has precisely one root)。

[ Last edited by pipi on 24-8-2004 at 12:58 PM ]

fritlizt

∫p(x) dx = 0；
在 -1 与 1 之间， 有一部分的面积是positive 的。 有一些是negetive 的。
我不懂有多少。 不过至少会有一个positive 及一个 negetive .
所以：　-1 与　1 之间至少有一个实数根。

sooshi

pipi 于 19-8-2004 22:34  说 :

就是这样！！
注：三个连续整数的积必定是 6 的倍数！
再注：n 个连续整数的积必定是 n! 的倍数！

[ Last edited by pipi on 21-8-2004 at 12:24 AM ]

请问这个如何来的
=1/8*2n*(2n+2)*(2n+1)

为什么2n*(2n+2)*(2n+1)肯定能给８除，又是三个连续号码。

注：三个连续整数的积必定是 6 的倍数！
再注：n 个连续整数的积必定是 n! 的倍数
这个可以解释吗？
我不太明白
谢谢！！！！！

chwk87

24/08/2004，星期二
初中(A5) 某年的六月份里有三个星期三是奇数，该月的13日是星期几？ （待解）

答 案 ： 星 期 一

chwk87

设 x/(a-b) = y/(b-c) = z/(c-a)=k

so, x=k(a-b)
    y=k(b-c)
    z=k(c-a)

x+y+z =ak-bk+bk-ck+ck-ak
      =0

[ Last edited by chwk87 on 24-8-2004 at 09:42 PM ]

pipi

sooshi 于 24-8-2004 05:29 PM  说 :
为什么2n*(2n+2)*(2n+1)肯定能给８除，又是三个连续号码。

我们留意到当 n 为整数时，n^3 + 3(n^2)/2 + n/2 必定是个整数。
既然  n^3 + 3(n^2)/2 + n/2 ＝ 1/8*2n*(2n+2)*(2n+1)，
那么  1/8*2n*(2n+2)*(2n+1) 也将是个整数！
所以 2n*(2n+2)*(2n+1) 必定能给 8 除。

请问这个如何来的
=1/8*2n*(2n+2)*(2n+1)

因为
1/8*2n*(2n+2)*(2n+1)
=n/2(2n+1)(n+1)

三个连续整数的积必定是 6 的倍数！

三个连续整数必定有一个偶数，也必定有一个三的倍数！
所以 三个连续整数的积必定是 6 的倍数！

n 个连续整数的积必定是 n! 的倍数

（同理）请自行检查！

[ Last edited by pipi on 25-8-2004 at 01:24 PM ]

pipi

chwk87，你答对了！！真聪明！！
那。。。这一题呢？？

不可用计算机（或对数表(sifir)），决定以下的最大值（并说出原因）：
(a) 6^100　  (b) 5^200　(c) 4^300  (d) 3^400   (e) 2^500

快乐

25/08/2004，星期三
初中(A6) 若 x/(a-b) = y/(b-c) = z/(c-a)，求 x + y + z 。 （待解）

我来试一试，
好久没有碰数学了，(三年多)
不知道自己还行不行。。。

x=y(a-b)/(b-c)
z=y(c-a)/(b-c)

x+y+z = y(a-b)/(b-c) + y + y(c-a)/(b-c)

这题的答案应该是。。。
x+y+z= 0

备注：没发现到。。。已经有人抢先回答了。

[ Last edited by 快乐 on 25-8-2004 at 05:48 PM ]