数学训练～每日一题

pipi 29/08/2004，星期日
大专(C2) 设 f(x) 为可微(differentiable)偶函数 （即 f(-x) =  f(x) for all x）。求证
         (i)  f '(x) 为奇函数 （即 f(-x) = - f(x) for all x）。
         (ii) f '(0) = 0  

(i)  
f '(-x) = lim (h->0) [f(-x+h)-f(-x)]/h
        = lim (h->0) [f(x-h)-f(x)]/h
        = lim (h->0) –[f(x)-f(x-h)]/h
        = - lim (h->0) [f(x)-f(x-h)]/h
        = - f ’(x)
hence prove.

(ii)
f ’(0) = f ’(-0) = - f ’(0)
因此 f '(0) = 0

pipi

sinchee，我的问题都让你解完了啦。。。
得空的话，你也帮帮忙，找一些适合的题目。。。
谢谢！！

辉文

pipi 于 16-8-2004 08:30  说 :
29/08/2004，星期日
大专(C2) 设 f(x) 为可微(differentiable)偶函数 （即 f(-x) =  f(x) for all x）。求证
         (i)  f '(x) 为奇函数 （即 f(-x) = - f(x) for all x）。
         (ii) f '(0) = 0                         （待解）

为了方便明白证明过程，我先把 f(x)当作y，

由于f(x）的方程式子是未知条件，因此我假设f(x)=x，既
                    y=x;
                   dy/dx=1

那么 dy/dx就是f'(x)了                    

再来，再假设u=-x；

                  du/dx= -1

当然可以说 du/dx就是(-x)'了

则 y=-u的方程式就是 f(-x)，从题目那里知道偶涵数 f(-x)=f(x)。为什么说y=-u的方程式就是 f(-x)？，因为f(-u)=f(-x)=f(x),刚才我把f(x)当作y，那么如果y=-u，是不是说就是f(-u)?

                    y=-u
                   dy/du=-1              

当然也可以说 dy/du就是f'(-u)，也可以写成 f'(-x)

从链导法（chain rule)法则，我们知道：
            
                 （dy/du)*(du/dx)=dy/dx                     
                  
因为 du/dx=-1

所以                    -(dy/du)=dy/dx;
                         (dy/du)= -dy/dx;  

到了；这里大家是否明白我在做什么，其实我是用大家熟悉的dy/dx当作f'(x)，而且用换元法，证明了偶涵数的导数（deriviative)就是奇涵数的导数。


如果不明白，我再做个总结：

已知偶涵数，           f(-x)=f(x)      

已经假设u=-x；

所以                    f'(-x)*(-x)'=f'(x)
刚才说微分u=-x后就是-1,因此(-x)'=-1

所以                         -f'(-x)=f'(x)
                              f'(-x)= -f'(x)
这样就证明 f'(x)是奇涵数。

同样道理，如果f(x)是一个常数的话，那么f(-x)也是常数，我们知道微分常数后 f'(x)一定等于0。

但是，0也代表一个常数，如果 f(0)=0的话，

则偶涵数为0，即f(-0)=f(0)=0。因为0代表一个常数，则偶涵数的导数也是0，既  f'(0)=- f'(-0)=0。当然也可以直接证明 f(0)=0,则f'(0)=0，不过还是继续证明偶涵数的导数也是0。

我不知道以上方法是否正确，因为前面的我用chain rule证明后，再做总结。我可能解释太乱，请抱歉。

pipi

辉文 于 28-8-2004 01:13 PM  说 :
为了方便明白证明过程，我先把 f(x)当作y，

由于f(x）的方程式子是未知条件，因此我假设f(x)=x，既
                    y=x;
                   dy/dx=1

那么 dy/dx就是f'(x)了                 ...

抱歉！你一开始的假设 f(x)=x 就不可行了。。。
原因：(i)  f(x) 是任意的函数！
      (ii) f(x) = x 也不是偶函数！！！
你的回复很长，不过许多概念有问题！！！
（言语中若有冒犯，请包涵！）

辉文

pipi 于 28-8-2004 13:37  说 :

抱歉！你一开始的假设 f(x)=x 就不可行了。。。
原因：(i)  f(x) 是任意的函数！
      (ii) f(x) = x 也不是偶函数！！！
你的回复很长，不过许多概念有问题！！！
（言语中若有冒犯，请包涵！）

不用担心的，大家都是学数学嘛。

不好意思，因为我参考课本，他原来写法是这样的：

已知偶涵数，             f(-x)=f(x)      

设u=-x；

所以                    f'(-x)*(-x)'=f'(x)
因为(-x)'=-1

所以                         -f'(-x)=f'(x)
                              f'(-x)= -f'(x)
这样就证明 f'(x)是奇涵数。

刚好我的课本有这个证明题，所以我拿出来发表。如果只是这样写出来，大家可能不明白，我才会假设f(x)=x，为了是利用chain rule的手法，让大家明白。因此我才会做出很长的解释。不过可能引起概念的错误，谢谢你的提醒。

[ Last edited by 辉文 on 28-8-2004 at 02:09 PM ]

辉文:

已知偶涵数，             f(-x)=f(x)      
设u=-x；
所以                    f'(-x)*(-x)'=f'(x)
因为(-x)'=-1
所以                         -f'(-x)=f'(x)
                              f'(-x)= -f'(x)
这样就证明 f'(x)是奇涵数。

课本的方法是对了，但其实设u=-x； 是多余的！！

由于f(x）的方程式子是未知条件，因此我假设f(x)=x，既
                    y=x;
                   dy/dx=1
那么 dy/dx就是f'(x)了   

  
证明题不可以随便假设，
题目要任意函数f(x) ，你却设f(x) = x

就象人家要你证明“全世界的人都是男人” ，
你就设“全世界的人” = “黛安娜皇妃” 一样。
就算被你证明到“黛安娜皇妃” 是男人，
也不代表“全世界的人都是男人” ！！
更何况“黛安娜皇妃” 根本就不是男人！！！

再来，

f(x)当作y，假设f(x)=x，再假设u=-x...

同一题若用太多假设，会让人感觉乱七八糟，
根本不想看下去！！

则偶涵数为0，即f(0)=f(0)=0。因为0代表一个常数，则偶涵数的导数也是0，既  f'(0)=- f'(-0)=0。

另外，f(0)=f(0)=0，并不代表f'(0)=- f'(-0)=0。

而且，也没有证明到题目要的东西！！

chwk87

1080度 ？ 我 还 是 不 明 白 。

多普勒效应

1080 度那题有比较geng的证明吗？

[ Last edited by 多普勒效应 on 28-8-2004 at 09:01 PM ]

chwk87

为 什 么 我 算 到 是 180度 ？

辉文

sinchee 于 28-8-2004 14:49  说 :
辉文:



课本的方法是对了，但其实设u=-x； 是多余的！！



  
证明题不可以随便假设，
题目要任意函数f(x) ，你却设f(x) = x

就象人家要你证明“全世界的人都是男人” ，
你 ...

谢谢你噢！因为之前我担心大家会问我如何证明，用什么定理，所以画蛇添足，所以错误理解概念。而且当然，证明到 f'(-x)=-f'(x)的话，就可以直接证明 f ’(0) = f ’(-0) = - f ’(0)=0就行了。

pipi网友，其实做你的数学习题，可以参考书吗？因为有时候看了你的题目之后，我脑子立刻想到有时候我买的数学书有这题，因此直接把答案copy & paste放进来。哈哈，不要怀疑，我不是专门背书的。只是刚好看到相似的题目罢了。

微中子

chwk87 于 28-8-2004 09:03 PM  说 :
为 什 么 我 算 到 是 180度 ？

尝试画出来吧,
我是画出来看的.

不懂怎样跟你解释.

转了一次就有360度了.
选一个定的点,比如开始接触的那一点.
转了一边之后,看那一点在哪里,然后乘三就可以了.
希望我讲的明白.

pipi

sinchee 于 28-8-2004 02:49 PM  说 :
课本的方法是对了，但其实设u=-x； 是多余的！！
证明题不可以随便假设，...

sinchee，谢谢你帮我做了解释。
（到现在才有空回来。。。）

辉文 于 28-8-2004 09:21 PM  说 :
pipi网友，其实做你的数学习题，可以参考书吗？因为有时候看了你的题目之后，我脑子立刻想到有时候我买的数学书有这题，因此直接把答案copy & paste放进来。

目前我贴上的都不算是太难的题目，一般的数学竞赛的读本都可找到。若因为这个 ＂数学训练～每日一题＂ 能令到大家去翻书找答案，同时思考思考，倒也是功德一件！看不看参考书，。。。，不重要！！

既然这道题这么快给大家解了，今天额外多一题：
(C2)’ a,b,c 为整数。
     若 a^2 + b^2 + c^2 是 16 的倍数，
     求证 a^3 + b^3 + c^3 是 64 的倍数。
    （也不会太难的。。。）

[ Last edited by pipi on 29-8-2004 at 09:27 AM ]

pipi

微中子 于 28-8-2004 10:45 PM  说 :
尝试画出来吧,
我是画出来看的.

不懂怎样跟你解释.

转了一次就有360度了.
选一个定的点,比如开始接触的那一点.
转了一边之后,看那一点在哪里,然后乘三就可以了.
希望我讲的明白.

大家先照这方法试试！然后试试这些：

可能你就想到它的一般性！！

pipi 于 29-8-2004 09:30 AM  说 :

大家先照这方法试试！然后试试这些：

可能你就想到它的一般性！！

一个硬币：720°
两个硬币：960°
n个硬币(n>2，且n个硬币排成正n边形)：(120n + 720)°

flyingfish

pipi 于 29-8-2004 09:30  说 :

大家先照这方法试试！然后试试这些：

可能你就想到它的一般性！！

转圆圈(3个白圆形，1个蓝圆形转)那题，我拿到540 degree,那里出错了？

方法：算蓝圆转动时能碰到白圆的轨迹。
1。把三个圆中心联成一个等边三角形
2。在等边三角形的每个边，再加一个点，联起来，形成额外的三个等边三角形。

General case:
(n个白圆形，1个蓝圆形转)，n>=2
1。把n个圆中心联成一个等边n角形
2。在等边n角形的每个边，再加一个点，联起来，形成额外的n个等边三角形。

共转了：[360 - (60*2)- (n-2)*180/n]* n   度
注：
360是整个圆的角度
(60*2)：每个等边n角形的内角与两个等边三角形毗邻。
(n-2)*180/n ：等边n角形的内角
[。。。]： 这是蓝圆在每个白圆转的角度。

刚看到pipi的最后一个图(第4个图)，虽然把圆心连起来不是等边n角形，
[360 - (60*2)- (n-2)*180/n]* n 可改成[360n- (60*2)n- (n-2)*180]

和大家的答案都不一样，我的解法有什么漏洞？

[ Last edited by flyingfish on 29-8-2004 at 11:09 AM ]

chwk87

我 用 的 方 法 与 你 一 样 。 我 也 找 到 540度

pipi

试想想，若一个人走在边长为 a 的一条直线上，他有＂转到＂吗？？
那么现在让他走在周长为 a 的一个圆形上（假设这可以做到），他是不是转了 360 度？？
所以。。。
想想。。。

flyingfish

哈哈，惨了，到现在还看不出来为什么是1080。。
我是考虑：(蓝圆转的轨迹长度)/(蓝圆圆周)*360

有一些地方是蓝圆转不进去的。。
当蓝圆停在两个白圆之间的时候(如pipi网友题目的图)，蓝圆碰到白圆的那两个点
之间，蓝圆是转不进去的。。

chwk87网友也拿到540吗？
你会不会把图贴上来，有图可能较容易谈。。
(惭愧，我不懂怎样把图贴上来)

[ Last edited by flyingfish on 30-8-2004 at 01:44 AM ]

微中子

在直线里,飞鱼兄的答案应该是对的.
不过问题是蓝色圆圈走的轨迹是圆的.



看看此图,应该看得出转了一次就是360度了.
看红色点的方向.
有三个, 所以一共3*360.

至于general case的,
我还没有想,不过给一个圆圈的,
从同一个图可以看出是720度

[ Last edited by 微中子 on 29-8-2004 at 11:11 PM ]

sooshi

31/08/2004，星期二
初中(A8) 不可用计算机，找出下列的值：
         99999 * 77778  +  33333 * 66666  。

不知对不对
设：３３３３３＝a

=3a(2a+11111+1)+a(2a)
=6a^2+a^2+3a+2a^2
=9a^2+3a
=3a(3a+1)
=99999(99999+1)
=99999(100000)
=9999900000

如有错请指点！！！