数学训练～每日一题

pipi

sooshi 于 31-8-2004 05:58 PM  说 :
31/08/2004，星期二
初中(A8) 不可用计算机，找出下列的值：
         99999 * 77778  +  33333 * 66666  。

不知对不对
设：３３３３３＝a

=3a(2a+11111+1)+a(2a)
=6a^2+a^2+3a+2a^2
=9a^2+3a
=3a( ...

恭喜你，掌握了并懂得运用其中的技巧！！！
但如果我们＂拉出＂ 99999 ，会不会更方便呢？？

sooshi

wah!!!!!!!!
对了吗？？？
谢谢你pipi要不是你之前教我
我是不可能做到的
谢谢你！！！！！！！！

辉文

pipi 于 29-8-2004 09:23  说 :

29/08/2004，星期日
大专(C2)' a,b,c 为整数。
          若 a^2 + b^2 + c^2 是 16 的倍数，
          求证 a^3 + b^3 + c^3 是 64 的倍数。

pipi，我想知道如果 a^2+b^2+c^2是 16 的倍数，那么 a,b,c,是不是属於4k形，当k为整数时候?如果这样的话，是否可以令 a=4ka, b=4kb, c=4kc,ka、kb、kc都是整数。

从题目： a^2+b^2+c^2= 4^2ka^2+4^2kb^2+4^2kc^2
                     = 16(ka^2+kb^2+kc^2)

那么， a^3+b^3+c^3= 4^3ka^3 + 4^3kb^3 + 4^3kb^3
                  = 64 (ka^3+ kb^3+kc^3)

故得证。

我不知道这样的证明方法正确否？因为我发现 a,b,c的关系是4*一个整数，这整数为k。
如果错误的话，请给予指导，谢谢。

pipi

辉文 于 1-9-2004 10:00 PM  说 :
pipi，我想知道如果 a^2+b^2+c^2是 16 的倍数，那么 a,b,c,是不是属於4k形，当k为整数时候?如果这样的话，是否可以令 a=4ka, b=4kb, c=4kc,ka、kb、kc都是整数。

从题目： a^2+b^2+c^2= 4^2ka^2+4^2kb^2+4 ...

显然，若 a,b,c 都是 4 的倍数的话，那就解了这问题！
不过，若 a,b,c 不都是 4 的倍数的话，可以吗？要如何证明？
对于证明题，我们要做的就是＂证明＂啊！！

另外，你的写法：a=4ka, b=4kb, c=4kc 有问题！！如果是这样，那 4k = 1 ?? （若a,b,c 不等于零）

[ Last edited by pipi on 1-9-2004 at 10:21 PM ]

辉文

pipi 于 1-9-2004 22:20  说 :

显然，若 a,b,c 都是 4 的倍数的话，那就解了这问题！
不过，若 a,b,c 不都是 4 的倍数的话，可以吗？要如何证明？
对于证明题，我们要做的就是＂证明＂啊！！

另外，你的写法：a=4ka, b=4kb,  ...

不好意思，你误会了， ka，kb，kc是另一个整数，所以 a=4ka，并非 a= 4*k*a。

如果 a=4*k*a，就会得到这样的结论， 1=4k?!!不过这也不是我想要的证明方法。

但是话说回来，为何说会联想到a,b,c都是4k的形式。我是这样想的：

先将整数分四类：(k是整数)
4k

4k+1

4k+2

4k+3

平方后

16k^2= 4(4k^2)

16k^2+8k+1= 4(4k^2+2k)+1

16k^2+16k+4= 16(k^2+k)+4

16k^2+24k+9= 4(4k^2+6k2)+1

从上面所述才联想到a,b,c都是4k之形式，因为其他没有可能构成 16|a^2+b^2+c^2的形式，就是说当a,b,c不是4k之形式的时候，无法构成16的倍数。

pipi

辉文 于 1-9-2004 10:37 PM  说 :
ka，kb，kc是另一个整数

我明白你的意思。问题是：若ka，kb，kc是另一个整数，我们就干脆写 m,n,p 了。不然很容易产生误解！！

所以 a=4ka，并非 a= 4*k*a

一般的情况，4ka 若不是 4*k*a，是什么？？

先将整数分四类：(k是整数)

你的做法基本上就是将所有的情况列出来。。。它事实上有4^3=64 个组合，你若用这方法，就得将所有的情况分析！
这也是一种方法。。。（可能就嫌长了些）
也行！

陈敏慧

3/08/2004，星期五
高中(B8) 设 0< a < 90(度)，sin(a) + cos(a) = sqrt(2)。
         求 sin(a) + sin(2a) + ... + sin(8a) 之值。

恩，我想知道题目是不是要求 sin(a)+sin(2a)+sin(3a)+...+sin(8a)的值。如果是的话，小女子想试一试：

先平方 (sin(a)+cos(a))^2=(sqrt(2))^2
        sin^2(a)+ 2sin(a)cos(a)+cos^2(a)=2
                 1 + 2sin(a)cos(a)=2
                     2sin(a)cos(a)=1
                           sin(2a)=1
                                a= 90(度)/2
                                 =45度  (pi/4)
已知 sin(a)= 1/sqrt(2)=0.707...., sin(2a)=1,sin(3a)=sin(a)....而且2a=pi/2

由于 sin(8a)=sin(2a*4)
             =sin(2pi)

因此  ，sin(a)+sin(2a)+...+sin(8a)为一个周期代表sin的函数图，按照下列的图：






上面的面积减下面的面积等于零，所以 sin(a)+sin(2a)+....+sin(8a)=0。各位是否得到答案等于零。

备注：pi就是3.141.....，在角度值是１８０度。

[ Last edited by 陈敏慧 on 3-9-2004 at 01:12 PM ]

pipi

陈敏慧 于 3-9-2004 01:08 PM  说 :
恩，我想知道题目是不是要求 sin(a)+sin(2a)+sin(3a)+...+sin(8a)的值。如果是的话，小女子想试一试：

先平方 (sin(a)+cos(a))^2=(sqrt(2))^2
        sin^2(a)+ 2sin(a)cos(a)+cos^2(a)=2
             ...

上面的面积减下面的面积等于零，所以sin(a)+sin(2a)+....+sin(8a)=0。

你部分的做法正确！
但是我们也许不需要用到sin的函数图，而且也不是因为上面的面积减下面的面积等于零这个理由来得到答案。
原因是 sin(a)，sin(2a)，...，sin(8a) 都是个别一个值（或是在sin的函数图上的一个点），它们并不是连续的！所以不能用到 面积 的概念！

不过，欢迎你的到来及分享你的 idea 。

陈敏慧

pipi 于 3-9-2004 01:52 PM  说 :

你部分的做法正确！
但是我们也许不需要用到sin的函数图，而且也不是因为上面的面积减下面的面积等于零这个理由来得到答案。
原因是 sin(a)，sin(2a)，...，sin(8a) 都是个别一个值（或是 ...

谢谢你的指导，这样的话，就是说直接把a代入进去算就行了吗？结果也发现， sin(a)+sin(2a)+...+sin(8a)=0

因为


sin(3a)= sin(2a+a)=sin(2a)cos(a)+cos(2a)sin(a)=cos(a)=sin(a)
sin(4a)= 2sin(2a)cos(2a)=0
sin(5a)= sin(4a+a)= sin(4a)cos(a)+cos(4a)sin(a)= -sin(a)
sin(6a)= sin(4a+2a)=sin(4a)cos(2a)+cos(4a)sin(2a)= -1
sin(7a)= sin(3a+4a)= sin(3a)cos(4a) +cos(3a)sin(4a)=-sin(3a)=-sin(a)
sin(8a)= 2sin(4a)cos(4a)=0


将 sin(a)+sin(2a)+...+sin(8a)全部加起来也是等於零。不知道是否正确？

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2/09/2004，星期四
高中(B7) 若 (1)(1!)+(2)(2!)+(3)(3!)+...+(1001)(1001!) 除以 2004，求其余数。

坛主，我对这题有疑问。我记得如果factorial的数目越大的话，其值也很大。这样数列 (1)(1!)+(2)(2!)+(3)(3!)+...+(1001)(1001!) 的值应该很大吧？如果很大的值除以2004，怎么会有余数？因为我是考虑到，无穷除被某数整除等於零吧。

[ Last edited by 陈敏慧 on 3-9-2004 at 03:18 PM ]

pipi

陈敏慧 于 3-9-2004 03:10 PM  说 :
谢谢你的指导，这样的话，就是说直接把a代入进去算就行了吗？结果也发现， sin(a)+sin(2a)+...+sin(8a)=0
因为
sin(3a)= sin(2a+a)=sin(2a)cos(a)+cos(2a)sin(a)=cos(a)=sin(a)
sin(4a)= 2sin(2a) ...

其实就是这样简单！！

坛主，我对这题有疑问。我记得如果factorial的数目越大的话，其值也很大。这样数列 (1)(1!)+(2)(2!)+(3)(3!)+...+(1001)(1001!) 的值应该很大吧？如果很大的值除以2004，怎么会有余数？

还是叫我 pipi 比较好啦！
我想确认一下：当我们说 ＂ 1 除以 2 ＂，意思是 1/2。
对于你这个问题，请试试考虑：
若 n 为自然数，10^n  除以 9, 其余数一定是 1 （n 多大都行！）。

因为我是考虑到，无穷除被某数整除等於零吧。

在这里，我们不是 ＂某数除以无穷＂，（基本上无穷除被某数整除这句话有些模糊）,而是＂某数除以2004＂。
所以，再想想。。。

[ Last edited by pipi on 3-9-2004 at 11:30 PM ]

微中子

pipi 于 29-8-2004 09:23  说 :

29/08/2004，星期日
大专(C2)' a,b,c 为整数。
          若 a^2 + b^2 + c^2 是 16 的倍数，
          求证 a^3 + b^3 + c^3 是 64 的倍数。



回复这一题,虽然已有人回答了


考虑
任何整数被16除的余数,
0, 1, 2, ..., 15

所以,任何整数n,

n^2 = x (mod 16)

当中,x只有0,1,4,9的可能性.

为了让a^2 + b^2 + c^2 = 16m的形式

x 只能是0,

考虑其中一个a^2 = 16k
所以a = 4 sqrt(k) ,不过a 是整数,所以sqrt(k)也是整数.
所以a是4的倍数.

同理,a, b, c都是4的倍数

a = 4q, b = 4s, c = 4r, q,s,r都是整数

a^3 + b^3 + c^3 = 64(q^3 + r^3 + s^3) = 64p, p 整数
所以是64的倍数.

pipi

设 0< a < 90(度)，sin(a) + cos(a) = sqrt(2)。
求 sin(a) + sin(2a) + ... + sin(8a) 之值。

对于这一题，由0< a < 90(度)，sin(a) + cos(a) = sqrt(2)，我们得知 a = 45度，所以我们有
sin(8-k)a = sin(8a-ka) = -sin(ka)
由此， sin(a) + sin(2a) + ... + sin(8a) = 0

微中子于 4-9-2004 06:42 AM  说 :
回复这一题,虽然已有人回答了
考虑
任何整数被16除的余数,
0, 1, 2, ..., 15
所以,任何整数n,
n^2 = x (mod 16)
...

也行！！
微兄，好久不见！！

微中子

回答5/09/2004，星期日的问题.

嘻嘻,最近比较忙嘛

修正,k>=1, 不是k>1.



[ Last edited by 微中子 on 4-9-2004 at 09:46 PM ]

pipi 于 03-09-2004 09:31  说 :

恭喜你，掌握了并懂得运用其中的技巧！！！
但如果我们＂拉出＂ 99999 ，会不会更方便呢？？

为什么不要设 x = 11111 呢？这样更容易找啊。
99999 = 9x
33333 = 3x
77778 = 7x+1
66666 = 6x
99999 * 77778  +  33333 * 66666  
= (9x)*(7x+1) + (3x)*(6x)
= 63x^2 + 9x + 18x^2
= 81x^2 + 9x
= 9x*(9x + 1)
= 99999*(99999 + 1)
= 99999*100000
= 9999900000

pipi

止战之殇 于 5-9-2004 12:46 PM  说 :
为什么不要设 x = 11111 呢？这样更容易找啊。
99999 = 9x
33333 = 3x
77778 = 7x+1
66666 = 6x
99999 * 77778  +  33333 * 66666  
= (9x)*(7x+1) + (3x)*(6x)
= 63x^2 + 9x + 18x^2
= 81x^2 + 9x
...

也可以啊！
我之前说的，是如以下的做法：
  99999 * 77778  +  33333 * 66666  
= 99999 (77778 + 22222)
= 99999 (100000)
= 9999900000

其实，不管是黑猫白猫，会捉老鼠的就是好猫！
所以，不管是什么方法，得到答案便行！！！

微中子 于 4-9-2004 09:41 PM  说 :
回答5/09/2004，星期日的问题.
嘻嘻,最近比较忙嘛
修正,k>=1, 不是k>1.
...

谢谢你抽空来玩！！
对于这一题，仍然有不同的解法！
微兄，再来玩玩吧！！
在看贴子的网友，也试试吧！！

pipi

今天是星期日，终结一下这个礼拜待解的问题。

30/08/2004，星期一
初中(A7) 设 a 为 x^2 + x + 1 = 0 的其中一个解。
         求 1/(1-a) + 1/(1- a^2) 。 （待解）
        
1/09/2004，星期三
初中(A9) 若 x < 0, x - 1/x = 1 。 求 x + 1/x 之值。 （待解）
      
2/09/2004，星期四
高中(B7) 若 (1)(1!)+(2)(2!)+(3)(3!)+...+(1001)(1001!) 除以 2004，求其余数。 （待解）
      
4/09/2004，星期六
高中(B9) 若 (a+b)/(a-b) = (b+c)/(2(b-c)) = (c+a)/(3(c-a)),
         求证： 8a + 9b + 5c = 0 （待解）

星期一，三，六的问题，所用的技巧是之前用过的，。。。
懂得解的网友请不要吝啬给出解答，与大家分享分享吧！
（所谓：勿以善小而不为！）

星期四的问题，得用一点技巧，先卖个关子，不要坏了大家的兴致（其实是吊大家的胃口。。。）

好啦，希望大家继续支持！！
以后我们才能玩更有趣的问题！！！

jolin~yo~yo

初中A9~~
对不起，我想了解一下！！
它是  x < 0, (x - 1) / 9 = 1  还是 x < 0, x - (1/x) = 1

pipi

jolin~yo~yo 于 6-9-2004 01:38 PM  说 :
初中A9~~
对不起，我想了解一下！！
它是  x < 0, (x - 1) / 9 = 1  还是 x < 0, x - (1/x) = 1

是 x < 0, x - (1/x) = 1

陈敏慧

恩，回答星期六(4/9/2004)的那题：

4/09/2004，星期六
高中(B9) 若 (a+b)/(a-b) = (b+c)/(2(b-c)) = (c+a)/(3(c-a)),
         求证： 8a + 9b + 5c = 0

设 (a+b)/(a-b) = (b+c)/(2(b-c)) = (c+a)/(3(c-a))=k，得到

      (a+b)=k(a-b)
      (b+c)= 2k(b-c)
      (c+a)= 3k(c-a)

所以 8a+9b+5c= 6a+2a+6b+3b+3c+2c
             = 6(a+b) + 3(b+c) + 2(a+c)
把 (a+b)，(b+c)，(c+a)代人进去，得到
    8a+9b+5c= 6(k(a-b)) +3(2k(b-c))+ 2(3k(c-a))
            = 0

得证，8a+9b+5c=0。

[ Last edited by 陈敏慧 on 6-9-2004 at 04:05 PM ]

pipi

陈敏慧 于 6-9-2004 04:03 PM  说 :
恩，回答星期六(4/9/2004)的那题：
设 (a+b)/(a-b) = (b+c)/(2(b-c)) = (c+a)/(3(c-a))=k，得到

      (a+b)=k(a-b)
      (b+c)= 2k(b-c)
      (c+a)= 3k(c-a)

所以 8a+9b+5c= 6a+2a+6b+3b+3c+2 ...

恩，就是这样啦！！
可以的话，多多益善！！
解了其他的问题吧！！