数学训练～每日一题

强 于 9-9-2004 03:48 PM  说 :
:sp::sp:嗨，我回来了

三点正

长针与短针相差90度

长针转360度，短针转15度。

长针转1度，短针转15/120度。

设长针转x度。
x=x（15/120）+90

x=90*120/105

所以重逢时间是３点又１7分8.57秒 ...

好象有問題﹐
長針轉360度﹐短針應該轉30度才對﹗﹗
长针转1度，短针转30/360度。
。。。 。。。

强

sinchee 于 9-9-2004 05:21 PM  说 :


好象有問題﹐
長針轉360度﹐短針應該轉30度才對﹗﹗
长针转1度，短针转30/360度。
。。。 。。。

pai se

太匆忙，犯了点小错...

chwk87

1 + 1/n^2 + 1/(n+1)^2
=(n^2+1)/n^2+ 1/(n+1)^2
=((n+1)^2-2n)/n^2+ 1/(n+1)^2
=((n+1)^2(n+1)^2-2n(n+1)^2+n^2)/n^2(n+1)^2
设 n+1为 x
(x^4-2nx+n^2)/n^2x^2
=(x^2-n)^2/(nx)^2
=(n^2+n+1)^2/(n^2+n)^2
所 以 a=n^2+n+1 and b=n^2+n
已 知 n 为整数，
所 以 a和 b也 是 整数

jolin~yo~yo

6/08/2004，星期一
初中(A10) 在 3 点与 4 点之间，时钟的长针和短针重合的时间是多少？

从三点算起~~~
长针每转一圈=360度
那长针转一度时，短针转30/360度
那就是（1/12）度~~~

在三点时~~~短针已在九十度！！
长针在零度！！

也就是说，当长针转一度时，短针就专（1/12）度！！
长针------ A=0, D=1
短针------ A=90， D=（1/12）

当他们重合时=〉长针的 A+(n-1)（D）= 短针的 A+(n-1)(D)
  0+(n-1)(1)=90+(n-1)(1/12)
  n-1=90+(1/12)n-(1/12)
  n-(1/12)n=90-(1/12)+1
  (11/12)n=(1091/12)
       n=(1091/12)/(11/12)
       n=(1091/11)
那他们重合的时候是代入n
   长针---T(1091/11)=A+(n-1)(D)
                    =0+[(1091/11)-1]*1
                    =1080/11

   短针---T(1091/11)=A+(n-1)(D)
                    =90+[(1091/11-10]*(1/12)
                    =90+(90/11)
                    =1080/11

证实它们重合的度数是(1080/11)度~~

平常算法~~~每走三十度=六十分钟
                 一度=两分钟

那就是说它们重合时间= (1080/11)度*两分钟
                    = (2160/11)分钟
                    = (2160/11)分钟/六十
                    =  三又十一分之三小时
                    =  3小时(十一分之三)*60
                    =  3小时16.36363636分钟
                    =  3小时16分钟21.8181816秒

[ Last edited by jolin~yo~yo on 10-9-2004 at 08:42 PM ]

强

三点正

长针与短针相差90度

长针转360度，短针转30度。

长针转1度，短针转30/360度。

设长针转x度。
x=x（30/360）+90

x=90*360/330=98.181818

所以重逢时间是３点又１6分21.8秒。。。

强

若 n 为整数，
          试将 1 + 1/n^2 + 1/(n+1)^2 可写成 (a/b)^2 的形式，其中

2n^2+2n+1+n^2(n+1)^2
=n(n+1)^2+2n(n+1)+1


1 + 1/n^2 + 1/(n+1)^2
=1+[(n+1)^2+n^2]/[n^2*(n+1)^2]
=1+(2n^2+2n+1)/(n^2(n+1)^2)
=[(n^2(n+1)^2+2n(n+1)+1]/(n^2(n+1)^2)
=[(n(n+1)+1)/n(n+1)]^2

a=n^2+n+1, b=n(n+1)

pipi

上个星期日的问题。。。与大家分享用另一个方法的解答：

pipi6/08/2004，星期一
初中(A10) 在 3 点与 4 点之间，时钟的长针和短针重合的时间是多少？ （待解）

這樣會不會比較簡單呢﹖
繞一圈﹐长针和短针共重合11次。
12小時 / 11 = 1小時5分27秒
所以﹐每轉1小時5分27秒長短針就重和一次。
如果第一次重合在12點正﹐則在 3 点与 4 点之间的重合為第三次重合。
即轉了 1小時5分27秒 * 3 = 3小時16分22秒。
ANSWER   :    3:16:22

pipi

sinchee 于 12-9-2004 08:32 AM  说 :
這樣會不會比較簡單呢﹖
繞一圈﹐长针和短针共重合11次。
12小時 / 11 = 1小時5分27秒
所以﹐每轉1小時5分27秒長短針就重和一次。
如果第一次重合在12點正﹐則在 3 点与 4 点之间的重合為第三次重合。
即轉 ...

哈！哈！就是喜欢这样的答案！！
（数学就是要得到精简的答案）

pipi9/09/2004，星期四
高中(B8) 若 n 为自然数，求证 n^2 + n + 2 不能被 15 整除。 （待解）

若 n = 3k,
n^2 + n + 2 = 9k^2 + 3k + 2
            = 3(3k^2 + k) + 2
            = 2(mod3)
若 n = 3k + 1,
n^2 + n + 2 = 9k^2 + 9k + 4
            = 3(3k^2 + 3k + 1) + 1
            = 1(mod3)
若 n = 3k + 2,
n^2 + n + 2 = 9k^2 + 15k + 8
            = 3(3k^2 + 5k + 2) + 2
            = 2(mod3)

因此 n^2 + n + 2 不能被 3 整除﹐當然也不能被15整除。

pipi 11/09/2004，星期六
高中(B12) 把1600粒花生分给100只猴子。
          证明：不管怎样分，至少有4只猴子得到的花生一样多。
          能否找到一种分法，使得没有5只猴子得到同样多的花生。 （待解）

先来证明：不管怎样分，至少有4只猴子得到的花生一样多。
假设第1到第99只猴子，没有4只猴子得到的花生一样多。
意思是说，最多有3只分得一样多。
最省花生的分法，当然是3只0粒，3只1粒，3只2粒，… ,3只32粒，依此类推。
分完99只猴子后，共分了1584粒。(等差级数)
剩下16粒，分给第100只猴子，
这就有4只猴子得到的花生一样多了。

   能否找到一种分法，使得没有5只猴子得到同样多的花生。

这当然有。
而且方法不只一个，以上就是一个例子。
paisei...

不好意思，我又来捣蛋啦。。。

pipi 12/09/2004，星期日
大专(C4) 在边长为 2 的正六边形上任意点 25 个点。
         证明：存在着两点，其距离小于 1。 （待解）

是不是可以把题目改成"任意点20个点" 咧？？？

                

flyingfish

止战之殇 于 8-9-2004 11:04  说 :
7/09/2004，星期二
初中(A11) 试证：三个连续奇数的平方和 加上 1，不能被 24 整除.

pipi,这是我的解答：  
  (2x+1)^2+(2x+3)^2+(2x+5)^2+1
=(4x^2+4x+1 )+(4x^2+12x+9)+(4x^2+20x+25)+1
=12x^2+36x+36
...

止战之殇网友的方法
(2x+1)^2+(2x+3)^2+(2x+5)^2+1
.....
=12(x^2+3x+3)
=12 [(x+1)(x+2)+1]

加上这招就能解释:
n连续数的乘积能给n ! 整除..
(x+1)(x+2)能给2整除.
[(x+1)(x+2)+1]不能给2整除.

flyingfish

pipi6/08/2004，星期一
初中(A10) 在 3 点与 4 点之间，时钟的长针和短针重合的时间是多少？
这题也能这样作:
(传统方法??)
长针走60分钟,短针走5分钟.
长针走x分钟,短针走x/12 分钟.

解 0 + x = 15 + x/12

pipi

sinchee 于 14-9-2004 05:18 PM  说 :
[quote]pipi9/09/2004，星期四
高中(B8) 若 n 为自然数，求证 n^2 + n + 2 不能被 15 整除。 （待解）

若 n = 3k,
n^2 + n + 2 = 9k^2 + 3k + 2
            = 3(3k^2 + k) + 2
            = 2(mod3)
若 n = 3k + 1,
n^2 + n + 2 = 9k^2 + 9k + 4
            = 3(3k^2 + 3k + 1) + 1
            = 1 ... [/quote]

行！！

sinchee 于 14-9-2004 05:44 PM  说 :
先来证明：不管怎样分，至少有4只猴子得到的花生一样多。
假设第1到第99只猴子，没有4只猴子得到的花生一样多。
意思是说，最多有3只分得一样多。
最省花生的分法，当然是3只0粒，3只1粒，3只2粒，… ,3 ...

正确！！

又让你垄断市场了！！

sinchee 于 14-9-2004 05:56 PM  说 :
不好意思，我又来捣蛋啦。。。
是不是可以把题目改成"任意点20个点" 咧？？？
                

若能证到"任意点20个点" ，那么"任意点25个点" 就更明显了。

flyingfish 于 14-9-2004 11:10 PM  说 :
止战之殇网友的方法
(2x+1)^2+(2x+3)^2+(2x+5)^2+1
.....
=12(x^2+3x+3)
=12 [(x+1)(x+2)+1]

加上这招就能解释:
n连续数的乘积能给n ! 整除..
(x+1)(x+2)能给2整除.
[(x+1)(x+2)+1]不能给2整除.

没错！！这样也行！！

flyingfish 于 14-9-2004 11:34 PM  说 :
pipi6/08/2004，星期一
初中(A10) 在 3 点与 4 点之间，时钟的长针和短针重合的时间是多少？
这题也能这样作:
(传统方法??)
长针走60分钟,短针走5分钟.
长针走x分钟,短针走x/12 分钟.

解 0 + x = 15 + x/12

这是（传统）书上的方法。。。
个人比较喜欢 sinchee 的那种解法。。。

简雯83

假设 X=成人的数量，Y=学生的数量
30X + 15Y = RM 15，000
2X + Y = 1，000
X = 500 - Y/2.......(1)

X + Y < 600 ........(2) (因为位子还有空缺)
用(1)代入(2)
500 - Y/2 + Y < 600
Y/2 < 100
Y < 200

所以学生最多的人数是199位！！！

铁蛋

初中级：（取自大马第六届全国数学比赛, 1978）

1. 求： tan ( arc cos (4/5) ) 的值.

2. 20! 的值在尾端共有几个 0 ?

铁蛋兄，好久不见！
谢谢你的问题！
不过，为了统一化，若各位网友有哪些有趣、适合的问题，请短消息给我！！

[ Last edited by pipi on 16-9-2004 at 01:38 PM ]

13/09/2004，星期一
初中(A13) 若 abc = 1, 求证： 1/(ab+a+1) + 1/(bc+b+1) + 1/(ac+c+1) = 1

不好意思，虽然我已经超龄，但还想试试看。
abc = 1 ==> ab = 1/c , bc = 1/a , b =1/ac

1/(ab+a+1) + 1/(bc+b+1) + 1/(ac+c+1)
=1/[(1/c)+a+1] + 1/[(1/a)+(1/ac)+1] + 1/[ac+c+1]
=1/[(1+ac+c)/c] + 1/[(c+1+ac)/ac] + 1/[ac+c+1]
=c/[1+ac+c] + ac/[1+ac+c] + 1/[1+ac+c]
=[1+ac+c]/[1+ac+c]
=1 (QED)

chwk87

OX 及 OY 是圆 O 的半径。
          XMY 是以 XY 为直径的半圆。
          如图所示， T，S，C 分别为各个部分的面积。
          那么 T:C 之比为 1:1

简雯83

OX 及 OY 是圆 O 的半径。
          XMY 是以 XY 为直径的半圆。
          如图所示， T，S，C 分别为各个部分的面积。
          那么 T:C 之比为＿＿＿。

假设OX = OY = j,
XY         = √ (j^2 + j^2)
              = √2 j^2

▲ OXY = j^2 / 2 = T的面积

● OXY = (πj^2) / 4

S的面积         = ● OXY -- ▲ OXY
         = (πj^2) / 4 -- j^2 / 2

半圆形的半径 = (√2 j^2) / 2
          = j^2 / √2
半圆形的面积 = (πj^2) / 2
          = (π [j / √2]^2) / 2
                 = (πj^2) / 2

C的面积         = (πj^2) / 2 -- (πj^2) / 4 + j^2 / 2
                = (πj^2) / 4 + j^2 / 2
π = 22/7
C的面积         = (22j^2 / 7) / 4 + j^2 / 2
                = 9j^2 / 7

T的面积 : C的面积
j^2 / 2 : 9j^2 / 7
7 : 18

那么 T:C 之比为 7:18