生物数学

铁蛋

分享。。。

大家都知道 Diploid 生物的性别分布是 1 雄 : 1 雌. 可以从细胞分裂学里预测， 而实验上也已证明。介绍一个理解法:



每个生物都有双亲。这是简单的祖宗图。当追寻到 n 代时，总共有 2^n 位祖宗。而明显地，性别分布是 1 雄 : 1 雌. 从统计角度来看，这种分布要在 n 数量大时才凸显,而 当 n 大时也可被理解为一个大的 population.

生物界里有个神奇的现象 ： parthenogenesis. 比如蚂蚁，蜜蜂都是这类的繁殖法。

雄的直接从蛋孵化，雌的则需要受精。所以，每只雄的蜜蜂有一个母亲而已，雌的才有双亲。考虑一只雄蜜蜂的祖宗图。



不难发现，算上去每代的是个 Fibonacci Sequence (可去数学论坛参考). 而 雄 :雌 比例，也不难发先是 F_n : F_(n+1). 当 n 大是，此比例收敛到 (√5 -1) / 2 ~ 0.618 < 1, 所以雌性比雄性多。

其实生物数学很有趣，大家不妨也多看看有关数学的知识。

[ Last edited by 铁蛋 on 18-6-2004 at 01:56 PM ]

flyingfish

对极了,我也同意生物数学很有趣的..
其实觉得各门科学都有很多意想不到的联系的..
要不要大家搜集生物+数学的例子/简介,有兴趣再深入探讨..?
哈哈,不好意思,离题一点点..

一些问题:
1.是不是假设一夫一妻制?
2.是不是假设父母只有一个孩子,或平均一个家庭的孩子雌雄比例不变?
3.假设population的成员都有配偶?

population的雌雄分布,以前看过Richard Dawkins的the selfish gene<自私的基因>里有谈到.Richard Dawkins的网站还有一些模拟的小program..

还有很多用game theory<博弈论>来谈生物学现象的例子,很好玩的,让人深思..game theory就是由von Neumann所创,再由电影a beautiful mind里主人翁John Nash发展的数学理论..

以前有网友找到<自私的基因>电子书,看看还能不能找到..

yaoxin

铁蛋 于 9-6-2004 18:29  说 :
分享。。。

大家都知道 Diploid 生物的性别分布是 1 雄 : 1 雌. 可以从细胞分裂学里预测， 而实验上也已证明。介绍一个理解法:


...

太久沒有碰數學﹐有點生鏽了﹐不好意思﹐沒有插嘴的余地。

fyon25

看了只觉得头晕而已，对不起我没天分、没兴趣。

铁蛋

再看看数学在生物学应用的威力。。。

在一个达到 哈迪-魏恩伯平衡 (Hardy-Weinberg Equilibrium) 的 population, 考虑一个基因.
此基因有两种 allele, A, a. 那么 AA : Aa : aa 的分布是

p^2 : 2p(1-p) : (1-p)^2

p 是 A allele 的 frequency.

试证明 Heterozygotes (Aa) 的 frequency 不会超过 1/2.

[ Last edited by 铁蛋 on 18-6-2004 at 02:08 PM ]

铁蛋

flyingfish 于 10-6-2004 11:28 AM  说 :

一些问题:
1.是不是假设一夫一妻制?
2.是不是假设父母只有一个孩子,或平均一个家庭的孩子雌雄比例不变?
3.假设population的成员都有配偶?


...

小弟水平有限。。。但且献丑。。。

１。嗯。。。配偶制度或许会影响某些基因的分布，但就性别来看，应该不会。

２。逻辑上以上的祖宗图是不可能的，因为这代表 n 代前共有 2^n 的人口，而明显的，n=100, 2^n = 2^100!! 从前并没有那么多人！这说明我们都曾在某一代，有共同的祖宗。但这个图的目的是要显示，在一个很大的 population 的雌雄分布。

铁蛋

铁蛋 于 18-6-2004 01:55 PM  说 :
再看看数学在生物学应用的威力。。。

在一个达到 哈迪-魏恩伯平衡 (Hardy-Weinberg Equilibrium) 的 population, 考虑一个基因.
此基因有两种 allele, A, a. 那么 AA : Aa : aa 的分布是

p^2 : 2p(1-p) :  ...

这个贴。。。再翻新。中六的朋友可以试试。问题绝对不难。

雨天之魂

铁蛋 于 18-6-2004 13:55  说 :
再看看数学在生物学应用的威力。。。

在一个达到 哈迪-魏恩伯平衡 (Hardy-Weinberg Equilibrium) 的 population, 考虑一个基因.
此基因有两种 allele, A, a. 那么 AA : Aa : aa 的分布是

p^2 : 2p(1-p) :  ...

重新翻阅了课本, 发现里面没有提到那么详细..
想了好久... 越想越远, 总算微中子兄给了点贴士让我解决了.
他说了三种解决的方法, 我只有这个记忆最深刻...

嗯, 2p(1-p) 是个 quadratic function.
differentiate 它, 找它的 max. point.

d/dp (2p-2p^2) = 0
      2-4p = 0
       p = 1/2

把 p=1/2 放回去 2p(1-p), 回得到 1/2.
这样就证明到最高也只能有 1/2 了吧?

雨天之魂

经微中子兄再次点醒, 附上其他两个解决的方法.

也可以用 completing the square 的方法.

2p(1-p) = 2p - 2p^2
        = -2((p-1/2)^2 + 1/4)
        = -2(p-1/2)^2 + 1/2

Since (p-1/2)^2 is always positive
so the maximum value = 1/2.

另外一个方法是...

Let 2p(1-p) = q
2p^2 -2p + q = 0
已知 p is real,
所以用 b^2 -4ac >=0.

(-2)^2 - 4(2)(q) >= 0
4 >= 8q
q <= 1/2

微中子兄的数学造诣确实教我佩服, 再次向他致敬.
他精神永远与我们同在

铁蛋

呵呵，不错不错。其实还有一个方法，就是利用 ＂ARITHMETIC-GEOMETRIC MEAN＂不等式

( p+q )/ 2 ≥ √pq

2√pq ≤ (p+q) = 1

Square both sides;

2 x 2pq ≤ 1

2pq ≤ 1/2 , 所以 2pq 的最大值是 1/2.

从数学角度看，这只是一个＂maximization problem＂，所以利用一般 maximization 技巧都可以。

其实很多生物问题都能被＂抽象化＂成数学/统计问题，解决后在看看如何从生物学角度了解答案。

雨天之魂

有趣得很...
铁蛋兄还有其他好玩的生物数学题目吗?

铁蛋

考虑 2 个 Biallelic loci (例子: Locus 1 有 allele A, a; Locus 2 有 allele B, b.

总共有多少种不同的 genotype ?

接下来我们把问题一般化. 考虑 n 个 Biallelic loci. 总共有多少种不同的 genotype ?


试试看！

雨天之魂

如果是的话噢...

2 个 loci 应该可以有 9 种genotype, 也就是有 __|__ 两个位置,
                                               
然后每一个空格可以有三个可能性.(AA/Aa/aa),(BB/Bb/bb)

2 loci = 3 x 3
       = 9
       = 3^2

再反过来想想,

1 locus = 3
        = 3^1

所以

n loci  = 3^n   ?

不知道噢, 我乱来的而已

铁蛋

两个的问题相当容易。。。

             AB   Ab   aB   ab
            __________________
        AB | *    *    *    * |     
        Ab |      *    *    * |     
        aB |           *    * |  
        ab |                * |
           |__________________|


共有 1 + 2 + 3 + 4 = 10 个 不同的 genotype (*)

给了贴士咯！ 一般化的问题不难解了，试试看吧！

雨天之魂

铁蛋 于 4-1-2005 13:54  说 :
共有 1 + 2 + 3 + 4 = 10 个 不同的 genotype (*)

n loci = 1 + 2 + 3 + ... + 2n ?

铁蛋

仔细再看看。。。不妨考虑三个 loci 时的 matrix.