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数学训练（十月份）
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基于之前的＂数学训练～每日一题＂里头的贴子算是蛮多的了，有网友向我反映在找答案是有点困难、有点眼花撩乱！！所以在这个十月份，开个新贴！！暂且命名为＂数学训练（十月份）＂。
十月份之后，我将＂数学训练～每日一题＂及＂数学训练（十月份）＂合并！！
另外，请有兴趣的网友留意：
我将所有的问题放在这个贴（第一面），每日更新题目！！这是为了避免问题四处 飞 
还是老样子：
我会每天都会贴一个数学题目（一般的比赛题目）。程度方面就由初中至高中，乃至大专都会有。
（ 星期一至星期三：初中 (A)
星期四至星期三：高中 (B)
星期日 ：大专 (C) ）
我的用意是想让大家参与。所以程度浅的也有，深的也有，任君选择属于自己能力范围里的。也希望大家能多多互相讨论！！
请多多支持！！
（答案最快在隔天公布）
（对于提高不提高积分，我觉得若是有兴趣＂玩＂的网友都不在意！！所以，玩得开心就好！！）
01/10/2004，星期五
高中(B20) 如图，PQ，QR，RP 个别是个别圆的直径；而 A,B,C 则各为阴影部分的面积。
求证： A + B = C
 （已解）
（答案：--）
（解对者：fritlizt，eeCyang，sinchee，灰羊，38女）
02/10/2004，星期六
高中(B21) x 是任意实数，求证： cos(cos x) ≥ sin x 。 （已解）
（答案：--）
（解对者：sMIL3）
03/10/2004，星期日
大专(C7)
（ 提示：利用 Mean Value Theorem ） （待解）
（答案：）
（解对者：）
04/10/2004，星期一
初中(A22) 当 1956, 1980 及 2004 除一正整数 a ，其余数均为 b 。
求 a + b 的最大值。 （已解）
（答案：36）
（解对者：38女）
05/10/2004，星期二
初中(A23) 如图， PQRS 为一长方形。已知 PQ = 3 PS，ST:SR = 1:3 。
求 三角形 SUT 的面积 和 阴影部分面积 之比。
 （已解）
（答案：1 ： 5）
（解对者：史奴比{^_^}）
06/10/2004，星期三
初中(A24) 已知 a = x + 1
b = x + 2
c = x + 3
求 a^2 + b^2 + c^2 - ab -bc - ca 之值。 （已解）
（答案：3）
（解对者：38女史奴比{^_^}，止战之殇，灰羊，sMIL3）
07/10/2004，星期四
高中(B22)
 （已解）
（答案：--）
（解对者：sinchee）
08/10/2004，星期五
高中(B23) 有两堆棋子，数目相等．两人玩耍，每人可以在一堆里任意取几颗，但不能同时在两堆里取，规定取得最后一颗者胜。
求证后取者可以必胜。 （已解）
（答案：--）
（解对者：灰羊）
09/10/2004，星期六
高中(B24) 不许用计算机，试比较 e^π 与 π^e，哪个比较大？ （已解）
（答案：e^π）
（解对者：sMIL3）
10/10/2004，星期日
大专(C8)
 （已解）
（答案：--）
（解对者：情~風）
11/10/2004，星期一
初中(A25) 若 a/b = b/c = c/d = d/a ，其中 abcd ≠0。
求 (a+b+c+d)/(a+b+c-d) 之值。 （已解）
（答案：0 或 2）
（解对者：史奴比{^_^}，430201）
12/10/2004，星期二
初中(A26) 已知 A,B,C,D,E 为整数，且 0 ≤A,B,C,D,E≤9 。
若 A B C D E
x 4
_________________
E D C B A
----------
求 A,B,C,D,E 之值。 （已解）
（答案：(A,B,C,D,E)=(2,1,9,7,8)）
（解对者：史奴比{^_^}，灰羊，38女）
13/10/2004，星期三
初中(A27) 甲、乙兩人轮流报数，必须报不大於2的自然数，把兩人报的数加起來，
谁报数后加起來的数是20，谁就获胜。
如甲要取胜，是先报还是后报？报几？（请解释你的论点！） （已解）
（答案：甲先报。报 2）
（解对者：灰羊，fritlizt，38女）
14/10/2004，星期四
高中(B25) 如图，在圆 O 任意画二 互相垂直的(chord)：AB 及 CD。
若 AB 与 CD 交点为 P 。
求证： AP^2 + PB^2 + CP^2 + PD^2 恒为某定值。
 （已解）
（答案：--）
（解对者：430201，灰羊）
15/10/2004，星期五
高中(B26) 若 a^3 + b^3 = 2.
求证 a + b ≤ 2. （已解）
（答案：--）
（解对者：430201）
16/10/2004，星期六
高中(B27) 已知 α 、β 为锐角，
且 3(sin α)^2 + 2(sin β)^2 = 1；
3(sin 2α) - 2(sin 2β) = 0，
求证： α + 2β = π/2 。 （已解）
（答案：--）
（解对者：灰羊）
17/10/2004，星期日
大专(C9) 求证：
 （已解）
（答案：--）
（解对者：灰羊，多普勒效应）
18/10/2004，星期一
初中(A28) 100 个学生排成一列，由左到右，报数！
1,2,3,...,100。
现在喊奇数的学生退出；喊偶数的学生保留，然后由左到右，报数！
1,2,3,...,50。
现在喊奇数的学生退出；喊偶数的学生保留，然后由左到右，报数！
1,2,3,...,25。
。。。
如此指令重复，直到最后一个学生！
问：这最后一个学生第一次喊什么号码？ （已解）
（答案：64）
（解对者：430201，史奴比{^_^}）
19/10/2004，星期二
初中(A29) 若 1/a + 1/b + 1/c = 1/(a+b+c),
求证 a^3 + b^3 + c^3 = (a+b+c)^3。 （已解）
（答案：--）
（解对者：多普勒效应，430201）
20/10/2004，星期三
初中(A30) 小明将 1,2,3,4,5,6,7,8,9 分别写在3X3的表格内（如下图），每格一个数字。
他分别将各（横）行，和各（竖）列的三个数加起来。
把和写在表的下方和右方。
试找出 * 之值。
 （已解）
（答案：7）
（解对者：多普勒效应，430201，史奴比{^_^}）
21/10/2004，星期四
高中(B28) 我们设
指令（1）为：由左到右，报数! 喊奇数的学生退出；喊偶数的学生保留，
指令（2）为：由右到左，报数! 喊奇数的学生退出；喊偶数的学生保留，
100 个学生排成一列。
指令（1）
指令（2）
指令（1）
指令（2）
...
如此指令重复，直到最后一个学生！
问：这最后一个学生第一次喊什么号码？ （已解）
（答案：54）
（解对者：430201）
22/10/2004，星期五
高中(B29) 若 0< a,b < 1 。
试求
√{a^2 + b^2} + √{(1-a)^2 + b^2} + √{(1-a)^2 + (1-b)^2} + √{a^2 + (1-b)^2}
的极小值。 （已解）
（答案：2√2）
（解对者：多普勒效应）
23/10/2004，星期六
高中(B30) 在三角形 ABC，角 C 为直角。
试求 (a+b)/c 的极大值及极小值。 （已解）
（答案：极大值=√2，没有 极小值...）
（解对者：多普勒效应）
24/10/2004，星期日
大专(C10) 若 0 < x ,y < 1 。
求证 1 < x^y + y^x < 2 。 （待解）
（答案：）
（解对者：）
25/10/2004，星期一
初中(A31) 若 (a+b)/(a-b) = 7/4
求 (a^2)/(b^2) 之值。 （已解）
（答案：121/9）
（解对者：多普勒效应，430201）
26/10/2004，星期二
初中(A32) 已知 六位数 174xyz 能被 7,11,13 整除。
求 x + y + z 。 （已解）
（答案：12）
（解对者：430201，史奴比{^_^}）
27/10/2004，星期三
初中(A33) 在某一数，x 的前后各添上"1"。
得到的数 y， 比 x 大 13439。
求 x 。 （已解）
（答案：382）
（解对者：多普勒效应，430201，史奴比{^_^}）
28/10/2004，星期四
高中(B31) 已知 a, b 为正整数，且 (a,b) 满足 10 < a^2 + b^2 < 28 。
问共有几组不同的 (a,b) ？
（答案：11） （已解）
（解对者：430201）
29/10/2004，星期五
高中(B32) (B32) 若 f(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)…(x-10)，
求 f '(10)。 （已解）
（答案：9!）
（解对者：ah_mok）
30/10/2004，星期六
高中(B33) 已知 x, y 为正整数，且 (x,y) 满足 1/x + 1/y = 1/30 。
求 y 的极大值。 （已解）
（答案：930）
（解对者：430201）
31/10/2004，星期日
大专(C11)
 （待解）
（答案：）
（解对者：）
（不管是 已解 或 待解 的题目，欢迎网友们多多支持！让大家分享你们的 idea  谢谢
若各位网友有哪些有趣、适合的问题，请短消息给我！！）
[ Last edited by 多普勒效应 on 31-10-2004 at 09:30 PM ] |
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发表于 30-9-2004 10:30 PM
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pipi 于 30-9-2004 07:33 PM 说 :
基于之前的＂数学训练～每日一题＂里头的贴子算是蛮多的了，有网友向我反映在找答案是有点困难、有点眼花撩乱！！所以在这个十月份，开个新贴！！暂且命名为＂数学训练 ...
QPR 是一个半圆。
所以角QPR = 90.
半圆PQ 的面积为 ： pai * PQ^2 /8
半圆PR 的面积为 ： pai * PR^2 /8
半圆RQ 的面积为 ： pai * RQ^2 /8
有根据 phytagoras theorem, 半圆PQ 的面积 + 半圆PR 的面积 = 半圆RQ 的面积
再扣除白色的面积，
A+B = C
不好意思， 把8 type 成4。
[ Last edited by fritlizt on 1-10-2004 at 06:27 PM ] |
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发表于 1-10-2004 01:36 PM
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我用的方法比较复杂...
因为我不懂phytagoras theorem...
首先我找 个别的半圆加起来的面积)-(整个图的面积)=白色的面积
就如fritlizt所说:
QPR 是一个半圆。
所以角QPR = 90.
半圆PQ 的面积为 ： pai * (PQ/2)^2/2
半圆PR 的面积为 ： pai * (PR/2)^2/2
半圆RQ 的面积为 ： pai * (RQ/2)^2/2
结果得:[pai * (PQ/2)^2/2 + pai * (PR/2)^2/2 + pai * (RQ/2)^2/2]
-[pai * (PQ/2)^2/2 + pai * (PR/2)^2/2 + PQ*PR/2]
得 pai * (RQ/2)^2/2 -PQ*PR/2 这是白色的面积...
过后我才用左式证:
A+B= pai* (PQ/2)^2/2 + pai* (PR/2)^2/2 -[pai* (RQ/2)^2/2 -PQ*PR/2]
C= PQ*PR/2
那如果要令到A+B=C.. 那pai* (PQ/2)^2/2 + pai* (PR/2)^2/2= pai* (RQ/2)^2/2
这和phytagoras theorem很像...
但如果不知道有这theorem..我就不会证下去了.. |
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发表于 1-10-2004 02:01 PM
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发表于 1-10-2004 02:20 PM
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发表于 1-10-2004 02:48 PM
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楼主 |
发表于 1-10-2004 06:18 PM
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fritlizt 于 30-9-2004 10:30 PM 说 :
QPR 是一个半圆。
所以角QPR = 90.
半圆PQ 的面积为 ： pai * PQ^2 /8
半圆PR 的面积为 ： pai * PR^2 /8
半圆RQ 的面积为 ： pai * RQ^2 /8
有根据 phytagoras theorem, 面积PQ + 面积PR = 面积RQ
再扣除白色的面积，
A+B = C
你的做法正确，不过
面积PQ + 面积PR = 面积RQ
写得不明确！！
什么是面积PQ呢？？
eeCyang 于 1-10-2004 01:36 PM 说 :
我用的方法比较复杂...
因为我不懂phytagoras theorem...
phytagoras theorem...是你学过的＂毕氏定理＂！！ |
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发表于 1-10-2004 06:21 PM
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pipi 于 1-10-2004 06:18 PM 说 :
你的做法正确，不过
面积PQ + 面积PR = 面积RQ
写得不明确！！
什么是面积PQ呢？？
phytagoras theorem...是你学过的＂毕氏定理＂！！
阿哈， 刚才赶着去上课， 只是简简单单的解释一下。
现在又要出去了， 迟些回来再edit.
不好意思。
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发表于 1-10-2004 08:29 PM
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发表于 2-10-2004 12:17 AM
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<img src="http://home.pchome.com.tw/online/hycheah2000/cari1.GIF"> |
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发表于 2-10-2004 11:46 AM
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02/10/2004，星期六
高中(B21)
x 是任意实数，求证： cos(cos x) ≥ sin x 。 （待解）
（答案：）
（解对者：）
-1<=cosx<=1,
cos(cosx)>0>=cos57'18 (cos1=cos57'18=cos-1)cos57'18=0.54024032...
当0<=x<=90', cos57'18<=cos(cosx)<=1, 0<=sinx<=1.
cos(cosx)和sinx的graf 相交与x=90'.
在0<=x<90',cos(cosx)>sinx
当90'<x<=180', 1<cos(cosx)<=cos57'18, 1<sinx<=0
同样的,cos(cosx)>sinx
在180'<x<=360'也得到cos(cosx)>sinx..
这样一直重复,所以cos(cos x) ≥ sin x , 当x 是任意实数..
但我觉得这样的解释还不够说服力,我会再努想其他方法... |
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发表于 4-10-2004 12:40 AM
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以我的程度只能證一半
當π≦x≦2π
sin x≦0
(sin在第三第四象限為負值)
cos(cos x)≧0
(因為在第三第四象限-1≦cos x≦1
∴cos(cos x)≧0)
故當π≦x≦2π時,
cos(cos x)≧sin x
恆成立 |
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发表于 4-10-2004 05:04 PM
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当 1956, 1980 及 2004 除一正整数 a ，其余数均为 b 。
求 a + b 的最大值。 （待解）
（答案：）
（解对者：）
我的数学不好，可以加入吗？
我是这么猜的：
1980 － 1956 ＝ 24
2004 － 1956 ＝ 48
gcd(24，48) ＝ 24
因此，12 ≡ 1956 (mod 24)
≡ 1980 (mod 24)
≡ 2004 (mod 24)
a ＝ 24；b ＝ 12
a + b ＝ 36 |
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楼主 |
发表于 5-10-2004 10:08 AM
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38女 于 4-10-2004 05:04 PM 说 :
我的数学不好，可以加入吗？
我是这么猜的：
我是这么猜的：
1980 － 1956 ＝ 24
2004 － 1956 ＝ 48
gcd(24，48) ＝ 24
因此，12 ≡ 1956 (mod 24)
≡ 1980 (mod 24)
≡ 2004 (mod 24)
a ＝ 24；b ＝ 12
a + b ＝ 36
38女，欢迎加入！！
你的答案是对的！！！
恭喜！！恭喜！！
有空常来！！ |
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发表于 5-10-2004 11:56 AM
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好可怜，我已是大专生，但只懂得解初中题目……我还在努力尝试大专题目，高中那题，我解了，但答案似乎和别人一样，所以就没发上来了。 |
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发表于 5-10-2004 01:24 PM
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05/09/2004，星期二
初中(A23) 如图， PQRS 为一长方形。已知 PQ = 3 PS，ST:SR = 1:3 。
求 三角形 SUT 的面积 和 阴影部分面积 之比。
若把PS=1, PQ = 3
那么，PQRS 面积 = 3
ST : SR = PS : PQ (SR=PQ, ST=PS)
= 1 : 3
SUT 面积 = 1/2 (ST*PS)
= 1/2
阴部分面积 = PQRS 面积 - SUT 面积
= 3 - 1/2
= 5/2
那么，SUT 面积 ： 阴部分面积 = （1/2） ： （5/2）
= 1 ： 5
对吗？ |
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楼主 |
发表于 5-10-2004 02:02 PM
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eeCyang 于 2-10-2004 11:46 AM 说 :
-1<=cosx<=1,
cos(cosx)>0>=cos57'18 (cos1=cos57'18=cos-1)cos57'18=0.54024032...
当0<=x<=90', cos57'18<=cos(cosx)<=1, 0<=sinx<=1.
cos(cosx)和sinx的graf 相交与x=90'.
在0<=x<90',cos(cosx)>sinx
当90'<x<=180', 1<cos(cosx)<=cos57'18, 1<sinx<=0
同样的,cos(cosx)>sinx
在180'<x<=360'也得到cos(cosx)>sinx..
这样一直重复,所以cos(cos x) ≥ sin x , 当x 是任意实数..
灰羊 于 4-10-2004 12:40 AM 说 :
以我的程度只能證一半
當π≦x≦2π
sin x≦0
(sin在第三第四象限為負值)
cos(cos x)≧0
(因為在第三第四象限-1≦cos x≦1
∴cos(cos x)≧0)
故當π≦x≦2π時,
cos(cos x)≧sin x
恆成立
这两种方法都是可行，只是没有将问题完全地解决！！
当0<=x<=90', cos57'18<=cos(cosx)<=1, 0<=sinx<=1.
cos(cosx)和sinx的graf 相交与x=90'.
在0<=x<90',cos(cosx)>sinx
(不过。。。这该如何证明？？)
或者各位可参考 微中子 之前在回答 多普勒效应
＂sin cos X =cos sin X＂
的解法！！
38女 于 5-10-2004 11:56 AM 说 :
好可怜，我已是大专生，但只懂得解初中题目……
我们的教育制度没有教会我们思考吧！
塞进去脑袋的充其量是一大堆的公式！！
也许你的答案有那么一点点跟别人不一样，贴上来吧。。。也许其他人能够从你的观点得到启发，也不一定！！
[ Last edited by pipi on 22-10-2004 at 10:35 AM ] |
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发表于 6-10-2004 08:42 AM
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发表于 6-10-2004 09:47 AM
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06/10/2004，星期三
初中(A24) 已知 a = x + 1
b = x + 2
c = x + 3
求 a^2 + b^2 + c^2 - ab -bc - ca 之值。 （待解）
（答案：）
（解对者：）
解：
b = a + 1; c = a + 2
a^2 + b^2 + c^2 - ab -bc - ca
= a^2 + (a + 1)^2 + (a + 2)^2 - a(a + 1) - (a + 1)(a + 2) - (a + 2)a
= a^2 + a^2 + 2a + 1 + a^2 + 4a + 4 - a^2 - a - a^2 -3a - 2 - a^2 - 2a
= 1 + 4 - 2
= 3 |
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发表于 6-10-2004 10:07 AM
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06/10/2004，星期三
初中(A24) 已知 a = x + 1
b = x + 2
c = x + 3
求 a^2 + b^2 + c^2 - ab -bc - ca 之值。
另一个方法：
(a-b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab
(b-c)^2 = b^2 + c^2 - 2bc
(c-a)^2 = c^2 + a^2 - 2ca
(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca
除以2 ：
[(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2]/2 = a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca （如题目所要的）
a-b = -1, b-c = -1 , c-a = 2
答案： a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = [(-1)^2 + (-1)^2 + (2)^2]/2
= 6/2
= 3 |
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