数学训练（十二月份）

微中子

12月份的就由微中子主持吧.

以下的问题都是多普勒提供的.

十一月未解


高中 (B39)



高中 (B40)
解联立方程：
X_i 是实数   
X_1 + X_2 + ... + X_1999 = 1999
(X_1)^4 + (X_2)^4 + ... + (X_1999)^4 = (X_1)^3 + (X_2)^3 + ... + (X_1999)^3
（已解）
（答案：X_i = 1）
（解对者：kee020041）

高中 (B41)
a_i 是正整数   i=1,2,3,...,n
已知 a_1 + a_2 + ... + a_n = 2002
求 (a_1)(a_2)...(a_n)的最大值。

高中 (B42)
i,j是正整数，
当 i,j 属于 S ，则 (i+j)/gcd(i,j) 属于 S
找出所有有限非空集 S
[ gcd(a,b) 表示 a,b 的最大公因数 ]

十二月


01/12/2004 星期三
初中(A45)
log_{2} 3 = a
3^{b} = 7
求 log_{12} 56
（已解）
（答案：3+ab)/(2+a) ）
（解对者：灰羊）

02/12/2004 星期四
高中(B43)
60^{a} = 3  , 60^{b} = 5
求  12^{(1-a-b)/(2-2b)}
（已解）
（答案：2）
（解对者：灰羊）

03/12/2004 星期五
高中(B44)
在三角形ABC中,若sin C = cos A + cos B,
求证三角形ABC为直角三角形.
（已解）
（答案：--）
（解对者：灰羊）

04/12/2004 星期六
高中(B45)
A , B是正整数，且A^2 + B^2 = 15
                  A^3 + B^3 = 28
问共有几组(A,B)
（已解）
（答案：0）
（解对者：430201）

05/12/2004 星期日
大专(C16)
问，共有几个整数n在1和2003之间使1^{n} + 2^{n} + 3^{n} + 4^{n} + 5^{n}可以被5整除.
（待解）
（答案：）
（解对者：）

06/12/2004 星期一
初中(A46)
考虑 1^1, 2^2, 3^3, 4^4, ...这个数列.
1^1 = 1, 2^2 = 4, 3^3 = 27, 4^4 = 256,
如果我们拿最后一个数字来组成新的数列1,4,7,6,...

如果无限的做下去,有什么pattern?
（待解）
（答案：）
（解对者：）

07/12/2004 星期二
初中(A47)
写出以下算式:
        * *
     x  * *
---------------
      * * *
    * * *
---------------
    * * * *
  +   1 * *
---------------
  * * * * *
---------------

*代表0到9中任何一个数字,不需是一样的.

就是写出每一个*代表什么数字.
（已解）
（答案：）
（解对者：灰羊）

08/12/2004 星期三
初中(A48)
已知x,y,z为正数且2^x = 3^y = 5^z.
那么2x, 3y, 5z何者为大,何者为小.
（已解）
（答案：5z 最大）
（解对者：chwk87，430201）

09/12/2004 星期四
高中(B46)
找出所有domain是实数的涵数,符合:
1. f(1)=1
2. f(x_1 + x_2)=f(x_1)+f(x_2)
3. f(1/x) = 1/x^2 f(x), x不等于0.
（已解）
（答案：f(x)=x）
（解对者：灰羊）

10/12/2004 星期五
高中(B47)
如果两个正数之间的和数小于它们之间的积数,证明它们的和大于4.
（待解）
（答案：）
（解对者：）

11/12/2004 星期六
高中(B48)
如果把正整数依照次序写到1990，我们可以得到
S0 = 123456789101112131415…19891990
现在，把第2，4，6，8…的数字删除，我们可得
S1 = 1357901234…9990
再把第1，3，5，7…的数字删除。
S2 = 37024…
我们继续以上两个步骤，
S3由S2的第2，4，6，8…数字被删除后形成，
S4由S3的第1，3，5，7…数字被删除后形成。
请问剩下一个数字的时候，那个数字是什么？
（待解）
（答案：）
（解对者：）

13/12/2004 星期一
初中(A49)
从 1 开始的若干个连续自然数的和等于一个各位数字相同的三位数（每个数字都一样）。问，应取几个连续自然数？
（已解）
（答案：36）
（解对者：430201，灰羊）


14/12/2004 星期二
初中(A50)
求方程 xyz=5(x+y+z)的正整数解，并且 x,y,z是质数。
（已解）
（答案：2,5,7 ）
（解对者：430201，灰羊[答对1/6]）


15/12/2004 星期三
初中(A51)
A     B    C     D     E
         2     5     8     
23    20    17   14    11
        26    29   32
47    44    41   38    35
               ......
数字 2000会出现在那一列？
（待解）
（答案：）
（解对者：）

16/12/2004 星期四
高中(B49)
解方程
3^(2x) - 34[15^(x-1)] + 5^(2x) = 0
（已解）
（答案：）
（解对者：灰羊）

17/12/2004 星期五
高中(B50)
a,b 是正整数，
若 a+b = 30030
证明 ab 不可以被 30030 整除。
（已解）
（答案：-）
（解对者：灰羊）

18/12/2004 星期六
高中(B51)
三角形 ABC 中，AB = AC，角 BAC=20度
D,E 分别是AB,BC上一点 ，使角DCB = 50度，角EBC=60都
求角BED之值。
（待解）
（答案：）
（解对者：）

20/12/2004 星期一
初中(A52)
x 为何值时， f(x)=(x - a_1)^2 + (x - a_2)^2 + ... + (x-a_n)^2
取最小值？
（已解）
（答案：x＝(a_1＋a_2＋…＋a_n)/n）
（解对者：430201）

21/12/2004 星期二
初中(A53)
化简
√[x + 4√(x+1) +5] + √[x + 6√(x+1) + 10]
（已解）
（答案：2√(x+1)＋5 ）
（解对者：430201）

22/12/2004 星期三
初中(A54)
已知 (y+z)/(b-c) = (x+z)/(c-a) = (x+y)/(a-b) > 0
a,b,c 互不相等，且都不等于零。
求证，以上各分式都等于
√{[x^2+y^2+z^2]/[(b-c)^2+(c-a)^2+(a-b)^2]}
（已解）
（答案：-）
（解对者：430201）

23/12/2004 星期四
高中(B52)
化简
3/(1!+2!+3!) + 4/(2!+3!+4!) + ... + 2001/(1999!+2000!+2001!)
（已解）
（答案：）
（解对者：430201）

24/12/2004 星期五
高中(B53)
证明，一个有 n 个元素的集合有 2^n 个子集。
（已解）
（答案：-）
（解对者：灰羊，430201）

我的数学造诣不会比各位高,所以如果发现答案有错误,请指出.谢谢

[ Last edited by 多普勒效应 on 27-12-2004 at 04:35 PM ]

灰羊

微中子 于 2-12-2004 22:11  说 :
03/12/2004 星期五
高中(A44)
在三角形ABC中,若sin C = cos A + cos B,
求证三角形ABC为直角三角形.

sin C = cos A + cos B
2sin(C/2)cos(C/2)=2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]

∵cos[(A+B)/2]=sin(C/2)
∴cos(C/2)=cos[(A-B)/2]

0≤A,B,C≤180度
=> C=A-B

A+B+C=180度---(1)
A-B-C=0度-----(2)
(1)+(2),
A=90度
(其實B也可能是90度,關鍵在於cos A + cos B還是cos B + cos A而已,
這裡證得A=90度不失一般性吧^^...)

[ Last edited by 灰羊 on 6-12-2004 at 03:37 PM ]

灰羊

微中子 于 2-12-2004 22:11  说 :
01/12/2004 星期三
初中(A45)

log_{2} 3 = a
3^{b} = 7
求 log_{12} 56

log_{2} 3 = a
=> 3=2^a

3^{b} = 7
=> 2^(ab)=7

log_{12} 56=㏒56/㏒12 (底數為2)
           =㏒(7*2^3)/㏒(3*2^2)
           =㏒ 2^(3+ab) / ㏒ 2^(2+a)
           =(3+ab)/(2+a)

灰羊

基本上換底公式是高一的課程...

灰羊

微中子 于 2-12-2004 22:11  说 :
02/12/2004 星期四
高中(A43)

60^{a} = 3  , 60^{b} = 5
求  12^{(1-a-b)/(2-2b)}

60^a=3
=> a=㏒_{60} 3

60^{b} = 5
=> b=㏒_{60} 5

(1-a-b)/(2-2b)=(1- ㏒_{60} 3 - ㏒_{60} 5)/2(1-㏒_{60} 5)
              =(㏒_{60} 4)/2(㏒_{60} 12)
              =(㏒_{12} 4)/2
              =㏒_{12} 2

設12^{(1-a-b)/(2-2b)}=k,則
㏒_{12} k =(1-a-b)/(2-2b)
㏒_{12} k =㏒_{12} 2
=> k=2
即12^{(1-a-b)/(2-2b)}=2

微中子

灰羊 于 3-12-2004 01:11 PM  说 :
基本上換底公式是高一的課程...

是吗?

不好意思...我不是很清楚这些课程了.

不是form 3已经学习了吗?

多普勒效应

指数与对数（包括换底等等）我们初三就学了...

对数在台灣屬於高中範圍

灰羊

微中子 于 2-12-2004 22:11  说 :
高中 (A37)
设 0<a,b<90度 , 且 sin a-sin b = -1/3
     cos a - cos b= (2√2) /3
证明 b - a =60度

此題已有人解出
看一下吧^^

灰羊

多普勒效应 于 3-12-2004 15:06  说 :
指数与对数（包括换底等等）我们初三就学了...

...不愧是隆中華...

A , B是正整数，且A^2 + B^2 = 15
                  A^3 + B^3 = 28
问共有几组(A,B)

∵A , B是正整数，且A^2 + B^2 = 15
∴0＜A^2＜15
则A＝1，2，3
（1）若A＝1，则B^2 = 14，但B是正整数，故B不存在
（2）若A＝2，则B^2 = 11，但B是正整数，故B不存在
（3）若A＝3，则B^2 = 6，但B是正整数，故B不存在
故共有0组(A,B)

多普勒效应

小弟帮 Livar 兄贴的

C16:
Let A=1^n+2^n+3^n+4^n+5^n
Let == represent congruent mod 5
A == 1 +2^n + 3^n   +  4^n
  == 1 +2^n +(-2)^n + (-1)^n
  == [ 1+(-1)^n ] [ 1+2^n ]
A is divisible by 5 is the RHS of the
congruent equation is zero.

(1)Case n=2l+1: where l=integer A is divisible by 5
n={1,3,5,7...}-->1002 solutions

(2)Case n=2l: then
A == 2[ 1+4^l ]
  == 2[ 1+(-1)^l]
if l=2k+1 where is k is integer
then A is divisible by 5.
Hence n=4k+2 or n={2,6,10,14,18,...}-->501 solutions

Total up..there r 1503 solution

微中子

灰羊 于 3-12-2004 01:05 PM  说 :

sin C = cos A + cos B
2sin(C/2)cos(C/2)=2cos[(A+B)/2]cos[(A-B)/2]

∵cos[(A+B)/2]=sin(C/2)
∴cos(C/2)=cos[(A-B)/2]

0≤A,B,C≤180度
=> C=A-B

A+B+C=180度---(1)
A-B-C=0度-----(2)
(1) ...

对了.

灰羊 于 3-12-2004 01:11 PM  说 :


log_{2} 3 = a
=> 3=2^a

3^{b} = 7
=> 2^(ab)=7

log_{12} 56=㏒56/㏒12 (底數為2)
           =㏒(7*2^3)/㏒(3*2^2)
           =㏒ 2^(3+ab) / ㏒ 2^(2+a)
           =(3+ab)/(2+a)

对

灰羊 于 3-12-2004 01:25 PM  说 :

60^a=3
=> a=㏒_{60} 3

60^{b} = 5
=> b=㏒_{60} 5

(1-a-b)/(2-2b)=(1- ㏒_{60} 3 - ㏒_{60} 5)/2(1-㏒_{60} 5)
              =(㏒_{60} 4)/2(㏒_{60} 12)
              =(㏒_{12} 4)/2
    ...

对

430201 于 4-12-2004 10:24 PM  说 :
A , B是正整数，且A^2 + B^2 = 15
                  A^3 + B^3 = 28
问共有几组(A,B)

∵A , B是正整数，且A^2 + B^2 = 15
∴0＜A^2＜15
则A＝1，2，3
（1）若A＝1，则B^2 = 14，但B是正整数，故B不存在
...

对了..该死.没有仔细看问题,竟然归类在高中.-_-

对不起,之前的分类一蹋糊涂..

灰羊

06/12/2004 星期一
初中(A46)
考虑以下的步骤:

在无限多的步骤之后,我们可得

问,黑色格子的面积是整图案的百分之几?.

=================================================
這個的圖看不到

灰羊

微中子 于 2-12-2004 22:11  说 :
07/12/2004 星期二
初中(A47)
写出以下算式:
        * *
     x  * *
---------------
      * * *
    * * *
---------------
    * * * *
  +   1 * *
---------------
  * * * * *
---------------

*代表0到9中任何一个数字,不需是一样的.

就是写出每一个*代表什么数字.

應該只有一組解

        9 9
     x  9 9
---------------
      8 9 1
    8 9 1
---------------
    9 8 0 1
  +   1 9 9
---------------
  1 0 0 0 0
---------------
.

微中子

灰羊 于 9-12-2004 11:41 AM  说 :
06/12/2004 星期一
初中(A46)
考虑以下的步骤:

在无限多的步骤之后,我们可得

问,黑色格子的面积是整图案的百分之几?.

=================================================
這個的圖看不到

看不到?..

这个,我想不到是什么问题呢!
我能够看得到啊!

灰羊

微中子 于 9-12-2004 13:44  说 :
看不到?..

这个,我想不到是什么问题呢!
我能够看得到啊!

http://tinypic.com/ 試試這裡?不用註冊的
我不知為甚麼看不到

微中子

多普勒效应 于 6-12-2004 12:04 AM  说 :
小弟帮 Livar 兄贴的

C16:
Let A=1^n+2^n+3^n+4^n+5^n
Let == represent congruent mod 5
A == 1 +2^n + 3^n   +  4^n
  == 1 +2^n +(-2)^n + (-1)^n
  == [ 1+(-1)^n ] [ 1+2^n ]
A is divisible by 5  ...

对

灰羊 于 9-12-2004 11:41 AM  说 :
06/12/2004 星期一
初中(A46)
考虑以下的步骤:

在无限多的步骤之后,我们可得

问,黑色格子的面积是整图案的百分之几?.

=================================================
這個的圖看不到

明天我再看看.

灰羊 于 9-12-2004 11:48 AM  说 :

應該只有一組解

        9 9
     x  9 9
---------------
      8 9 1
    8 9 1
---------------
    9 8 0 1
  +   1 9 9
---------------
  1 0 0 0 0
---------------
.

对,可以解释吗?

灰羊

微中子 于 2-12-2004 22:11  说 :
09/12/2004 星期四
高中(B46)
找出所有domain是实数的涵数,符合:
1. f(1)=1
2. f(x_1 + x_2)=f(x_1)+f(x_2)
3. f(1/x) = 1/x^2 f(x), x不等于0.
（待解）
（答案：）
（解对者：）

∵f(a+b)=f(a)+f(b)
設f(x)=kx,
∵f(1)=1 => k=1

∴f(x)=x
代入3. f(1/x) = 1/x^2 f(x), x不等于0驗證,符合
∴f(x)=x
x屬於R

(不知這樣可不可以...)

灰羊

微中子 于 9-12-2004 20:53  说 :
对,可以解释吗?

好的
        * *     <=A
     x  * *     <=B
---------------
      * * *
    * * *
---------------
    * * * *     <=C
  +   1 * *     <=D
---------------
  * * * * *     <=E
---------------

∵E是5位數,D的最大值是199
∴C≧9801

而A*B的最大值為99*99=9801
∴A=B=99 => C=9801
∴D=199,E=10000

[ Last edited by 灰羊 on 10-12-2004 at 05:30 PM ]